Тип 15 № 11197

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{1}{3^x - 1} + \frac{3\cdot9^{x} - 27\cdot3^{x} + 3}{3^x - 9} \geq 3\cdot3^{x}$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{1}{t - 1} + \frac{3t^2 - 27t + 3}{t - 9} \geq 3t$$ $$\frac{1}{t - 1} + \frac{3t^2 - 27t + 3}{t - 9} - 3t \geq 0$$ $$\frac{(t - 9) + (3t^2 - 27t + 3)(t - 1) - 3t(t - 1)(t - 9)}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$\frac{t - 9 + 3t^3 - 3t^2 - 27t^2 + 27t + 3t - 3 - 3t^3 + 27t^2 + 3t^2 - 27t}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$ $$\frac{4t - 12}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{4(t - 3)}{(t - 1)(t - 9)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (1; 3] \cup (9; +\infty) \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 1\\ t \leq 3 \end{cases}\\ &t > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3^x > 1\\ 3^x \leq 3 \end{cases}\\ &3^x > 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > 0\\ x \leq 1 \end{cases}\\ &x > 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (0; 1] \cup (2; +\infty)$