Тип 15 № 11202

Сделаем замену $5^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t}{t - 4} + \frac{t + 5}{t - 5} + \frac{22}{t^2 - 9t + 20} \leq 0$$

Разложим знаменатель последней дроби на множители:

$$t^2 - 9t + 20 = (t - 4)(t - 5)$$

Приведём все дроби к общему знаменателю $(t - 4)(t - 5)$:

$$\frac{t(t - 5) + (t + 5)(t - 4) + 22}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 5t + t^2 - 4t + 5t - 20 + 22}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 2t + 1)}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 1)^2}{(t - 4)(t - 5)} \leq 0$$

Решение неравенства:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t > 4 \\ t < 5 \end{cases} \\ &t = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 5^x > 4 \\ 5^x < 5 \end{cases} \\ &5^x = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x > \log_5 4 \\ x < 1 \end{cases} \\ &x = 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup (\log_5 4; 1)$