Тип 12 № 11206

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(2x^2 - 13x + 9\ln x + 8\right)' = 4x - 13 + \frac{9}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 13 + \frac{9}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 13x + 9 = 0$$ $$D = 169 - 144 = 25$$ $$x = \frac{13 \pm 5}{8}$$ $$x_1 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \quad (\text{не входит в отрезок})$$ $$x_2 = \frac{8}{8} = 1 \quad (\text{входит в отрезок})$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $\left[\frac{13}{14},1\right]$ и убывает на $\left[1,\frac{15}{14}\right]$, поэтому наибольшее значение достигается в точке $x=1$.

1. Вычислим значение в точке максимума: $$y(1) = 2(1)^2 - 13(1) + 9\ln(1) + 8 = 2 - 13 + 0 + 8 = -3$$