Тип 12 № 11207

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(2x^2 - 5x + \ln x - 3\right)' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 5x + 1 = 0$$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$$ $$x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{4} \quad (\text{не входит в отрезок})$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $\left[\frac{5}{6},1\right]$ и возрастает на $\left[1,\frac{7}{6}\right]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=1$: $$y(1) = 2(1)^2 - 5(1) + \ln 1 - 3 = 2 - 5 + 0 - 3 = -6$$