Тип 15 № 11214

Сделаем замену $16^x - 2\cdot4^{x + 1} = t$. Имеем: $$t^2 + 23t + 112 \geq 0 \Leftrightarrow(t + 7)(t + 16) \geq 0$$

Откуда:

$$t \leq -16 \text{ или } t \geq -7$$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. $t \leq -16$:

$$(4^x)^2 - 8\cdot4^x \leq -16 \Leftrightarrow (4^x)^2 - 8\cdot4^x + 16 \leq 0 \Leftrightarrow (4^x - 4)^2 \leq 0$$

Это неравенство выполняется только при:

$$4^x = 4 \Leftrightarrow x = 1$$

1. $t \geq -7$:

$$(4^x)^2 - 8\cdot4^x \geq -7 \Leftrightarrow (4^x)^2 - 8\cdot4^x + 7 \geq 0$$

Сделаем замену $4^x = a > 0$:

$$a^2 - 8a + 7 \geq 0 \Leftrightarrow (a - 1)(a - 7) \geq 0$$

Решение:

$$a \leq 1 \text{ или } a \geq 7 \Leftrightarrow 4^x \leq 1 \text{ или } 4^x \geq 7 \Leftrightarrow x \leq 0 \text{ или } x \geq \log_4 7$$

Объединим решения:

$$x \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup [\log_4 7; +\infty)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup [\log_4 7; +\infty)$