Тип 15 № 11217

Преобразуем неравенство:

$$(25^x - 4\cdot5^x)^2 - 2\cdot(25^x - 4\cdot5^x) - 15 < 0$$

Сделаем замену $t = 25^x - 4\cdot5^x$. Тогда неравенство примет вид:

$$t^2 - 2t - 15 < 0 \Leftrightarrow (t + 3)(t - 5) < 0$$

Решение неравенства: $-3 < t < 5$:

$$\begin{cases} 25^x - 4\cdot5^x > -3 \\ 25^x - 4\cdot5^x < 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 25^x - 4\cdot5^x + 3 > 0 \\ 25^x - 4\cdot5^x - 5 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство. Сделаем замену $a = 5^x > 0$:

$$a^2 - 4a + 3 > 0 \Leftrightarrow (a - 1)(a - 3) > 0$$

Откуда:

$$a < 1 \text{ или } a > 3 \Leftrightarrow5^x < 1 \text{ или } 5^x > 3 \Leftrightarrow x < 0 \text{ или } x > \log_5 3$$

Решим второе неравенство:

$$a^2 - 4a - 5 < 0 \Leftrightarrow (a + 1)(a - 5) < 0$$

Так как $a = 5^x > 0$, то:

$$a < 5 \Leftrightarrow 5^x < 5 \Leftrightarrow x < 1$$

Объединим решения:

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x < 0\\ &x > \log_5 3 \end{aligned}\right.\\ x < 1 \end{cases}$$

Таким образом, решением системы является:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (\log_5 3; 1)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\log_5 3; 1)$