Тип 15 № 11218

Преобразуем неравенство:

$$(9^x - 3^{x + 1})^2 - 8 \cdot (9^x - 3^{x + 1}) - 20 < 0$$

Сделаем замену $t = 9^x - 3^{x + 1}$. Тогда неравенство примет вид:

$$t^2 - 8t - 20 < 0 \Leftrightarrow (t + 2)(t - 10) < 0$$

Решение неравенства: $-2 < t < 10$:

$$\begin{cases} 9^x - 3^{x + 1} > -2 \\ 9^x - 3^{x + 1} < 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 9^x - 3 \cdot 3^x + 2 > 0 \\ 9^x - 3 \cdot 3^x - 10 < 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство. Сделаем замену $3^x = a > 0$:

$$a^2 - 3a + 2 > 0 \Leftrightarrow (a - 1)(a - 2) > 0$$

Откуда:

$$3^x < 1 \text{ или } 3^x > 2 \Leftrightarrow x < 0 \text{ или } x > \log_3 2$$

Решим второе неравенство:

$$a^2 - 3a - 10 < 0 \Leftrightarrow (a + 2)(a - 5) < 0$$

Так как $a = 3^x > 0$, то:

$$a < 5 \Leftrightarrow 3^x < 5 \Leftrightarrow x < \log_3 5$$

Объединим решения:

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &x < 0\\ &x > \log_3 2 \end{aligned}\right.\\ x < \log_3 5 \end{cases}$$

Таким образом, решением системы является:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\log_3 2; \log_3 5)$