Тип 15 № 11221

Сделаем замену $3^x = t > 0$

Имеем:

$$\frac{t^2 + 2t - 117}{t - 27} \leq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{t^2 + 2t - 117}{t - 27} - 1 \leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t^2 + 2t - 117 - (t - 27)}{t - 27} \leq 0$$ $$\frac{t^2 + t - 90}{t - 27} \leq 0$$ Разложим числитель на множители: $$t^2 + t - 90 = (t + 10)(t - 9)$$ Таким образом: $$\frac{(t + 10)(t - 9)}{t - 27} \leq 0$$

Решение данного неравенства равносильно системе: $$\begin{cases} t \geq 9\\ t < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^x \geq 9\\ 3^x < 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3^x \geq 3^2\\ 3^x < 3^3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2\\ x < 3 \end{cases}$$

Ответ: $x \in [2; 3)$