Сделаем замену 3 x = t > 0 3^x = t > 0 3 x = t > 0
Имеем:
t t − 3 + t + 1 t − 2 + 5 t 2 − 5 ⋅ t + 6 ≤ 0 \frac{t}{t - 3} + \frac{t + 1}{t - 2} + \frac{5}{t^2 - 5\cdot t + 6} \leq 0 t − 3 t + t − 2 t + 1 + t 2 − 5 ⋅ t + 6 5 ≤ 0 t t − 3 + t + 1 t − 2 + 5 ( t − 3 ) ( t − 2 ) ≤ 0 \frac{t}{t - 3} + \frac{t + 1}{t - 2} + \frac{5}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0 t − 3 t + t − 2 t + 1 + ( t − 3 ) ( t − 2 ) 5 ≤ 0 t ( t − 2 ) + ( t − 3 ) ( t + 1 ) + 5 ( t − 3 ) ( t − 2 ) ≤ 0 \frac{t(t- 2) + (t - 3)(t + 1) + 5}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0 ( t − 3 ) ( t − 2 ) t ( t − 2 ) + ( t − 3 ) ( t + 1 ) + 5 ≤ 0 t 2 − 2 t + t 2 − 2 t − 3 + 5 ( t − 3 ) ( t − 2 ) ≤ 0 \frac{t^2 -2t + t^2-2t - 3 + 5}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0 ( t − 3 ) ( t − 2 ) t 2 − 2 t + t 2 − 2 t − 3 + 5 ≤ 0 2 t 2 − 4 t + 2 ( t − 3 ) ( t − 2 ) ≤ 0 ⇔ t 2 − 2 t + 1 ( t − 3 ) ( t − 2 ) ≤ 0 \frac{2t^2 -4t + 2}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 -2t + 1}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0 ( t − 3 ) ( t − 2 ) 2 t 2 − 4 t + 2 ≤ 0 ⇔ ( t − 3 ) ( t − 2 ) t 2 − 2 t + 1 ≤ 0 ( t − 1 ) 2 ( t − 3 ) ( t − 2 ) ≤ 0 \frac{(t - 1)^2}{(t - 3)(t - 2)} \leq 0 ( t − 3 ) ( t − 2 ) ( t − 1 ) 2 ≤ 0
Решение данного неравенства равносильно совокупности:
[ { t > 2 t < 3 t = 1 ⇔ [ { 3 x > 2 3 x < 3 3 x = 1 ⇔ [ { x > log 3 2 x < 1 x = 0 \left[\begin{aligned}
&\begin{cases}
t > 2 \\
t < 3
\end{cases}\\
&t = 1
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}
&\begin{cases}
3^x> 2 \\
3^x < 3
\end{cases}\\
&3^x= 1
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}
&\begin{cases}
x > \log_32 \\
x < 1
\end{cases}\\
&x = 0
\end{aligned}\right. { t > 2 t < 3 t = 1 ⇔ { 3 x > 2 3 x < 3 3 x = 1 ⇔ { x > log 3 2 x < 1 x = 0
Ответ: x ∈ { 0 } ∪ ( log 3 2 ; 1 ) x \in\{0\} \cup (\log_32; 1) x ∈ { 0 } ∪ ( log 3 2 ; 1 )
