Тип 15 № 11230

$$(*) x > 0$$ Упростим выражения: $$\log_3\left(\frac{x}{27}\right) = \log_3x - 3$$ $$\log_3x^3 = 3\log_3x$$ Сделаем замену $t = \log_3x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t-3} \geq \frac{2}{t} + \frac{5}{t^2 - 3t}$$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $$\frac{2(t-3) + 5}{t(t-3)} = \frac{2t - 1}{t(t-3)}$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{t}{t-3} - \frac{2t - 1}{t(t-3)} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2 - 2t + 1}{t(t-3)} \geq 0$$ $$\frac{(t-1)^2}{t(t-3)} \geq 0$$

Решение: $$\left[\begin{aligned} t > 3\\ t = 1\\ t < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \log_3x > 3\\ \log_3x = 1\\ \log_3x < 0 \end{aligned}\right.$$

С учётом того, что основания логарифмов $3 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_3x > 3\\ &\log_3x = 1\\ &\log_3x < 0 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_3x > \log_327\\ &\log_3x = \log_33\\ &\log_3x < \log_31 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 27\\ &x = 3\\ &x < 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup \{3\} \cup (27;+\infty)$