Логарифмические неравенства заменой

$$(*) x > 0$$ Упростим выражения: $$\log_3\left(\frac{x}{27}\right) = \log_3x - 3$$ $$\log_3x^3 = 3\log_3x$$ Сделаем замену $t = \log_3x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t-3} \geq \frac{2}{t} + \frac{5}{t^2 - 3t}$$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $$\frac{2(t-3) + 5}{t(t-3)} = \frac{2t - 1}{t(t-3)}$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{t}{t-3} - \frac{2t - 1}{t(t-3)} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2 - 2t + 1}{t(t-3)} \geq 0$$ $$\frac{(t-1)^2}{t(t-3)} \geq 0$$

Решение: $$\left[\begin{aligned} t > 3\\ t = 1\\ t < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \log_3x > 3\\ \log_3x = 1\\ \log_3x < 0 \end{aligned}\right.$$

С учётом того, что основания логарифмов $3 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_3x > 3\\ &\log_3x = 1\\ &\log_3x < 0 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_3x > \log_327\\ &\log_3x = \log_33\\ &\log_3x < \log_31 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 27\\ &x = 3\\ &x < 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup \{3\} \cup (27;+\infty)$

$$(*) x > 0$$ Упростим числитель: $$\log_4(16x^4) = 2 + 4\log_4x$$ Сделаем замену $t = \log_4x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{4t + 13}{t^2 - 9} \geq -1$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{4t + 13 + t^2 - 9}{t^2 - 9} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 4t + 4}{t^2 - 9} \geq 0$$ $$\frac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)} \geq 0$$

Решение: $$\left[\begin{aligned} &t > 3\\ &t = -2\\ &t< -3 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > 3\\ &\log_4x = -2\\ &\log_4x< -3 \end{aligned}\right.$$

С учётом того, что основания логарифмов $4 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ &\log_4x = \log_4(\tfrac{1}{16})\\ &\log_4x< \log_4(\tfrac{1}{54}) \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_4x > 3\\ &\log_4x = -2\\ &\log_4x< -3 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{64}) \cup \{\tfrac{1}{16}\} \cup (64; +\infty)$

$$(*) x > 0$$ Упростим выражение в знаменателе: $$\log_3(27x^6) = 3 + 6\log_3x$$ Сделаем замену $t = \log_3x$, тогда неравенство примет вид: $$1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{t^2 - 6t - 3 + 12} \geq 0$$ $$1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{t^2 - 6t + 9} \geq 0$$ $$1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{(t - 3)^2} \geq 0$$

Приведем к общему знаменателю $(t-3)^2$: $$\frac{(t-3)^2 + 6(t-3) + 5}{(t-3)^2} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 6t + 9 + 6t - 18 + 5}{(t-3)^2} \geq 0$$ $$\frac{t^2 - 4}{(t-3)^2} \geq 0$$ $$\frac{(t-2)(t+2)}{(t-3)^2} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t \leq -2\\ & t \geq 2\\ &t \neq 3 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x \leq -2\\ & \log_3x \geq 2\\ &\log_3x \neq 3 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x \leq \log_3\frac{1}{9}\\ & \log_3x \geq \log_39\\ &\log_3x \neq \log_327 \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $3 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x \leq \frac{1}{9}\\ & x \geq 9\\ &x \neq 27 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{9}] \cup [9; 27) \cup (27; +\infty)$

$$(*) x > 0$$ Упростим выражения: $$\log_5(25x) = 2 + \log_5x$$ $$\log_5x^4 = 4\log_5x$$ Сделаем замену $t = \log_5x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 2}{t - 2} + \frac{t - 2}{t + 2} \geq \frac{6 - 4t}{t^2 - 4}$$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t+2)^2 + (t-2)^2}{(t-2)(t+2)} \geq \frac{6 - 4t}{(t-2)(t+2)}$$ $$\frac{t^2 + 4t + 4 + t^2 - 4t + 4}{(t-2)(t+2)} \geq \frac{6 - 4t}{(t-2)(t+2)}$$ $$\frac{2t^2 + 8}{(t-2)(t+2)} \geq \frac{6 - 4t}{(t-2)(t+2)}$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{2t^2 + 8 - 6 + 4t}{(t-2)(t+2)} \geq 0$$ $$\frac{2t^2 + 4t + 2}{(t-2)(t+2)} \geq 0$$ $$\frac{2(t+1)^2}{(t-2)(t+2)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 2\\ & t < -2\\ &t = -1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_5x > 2\\ & \log_5x < -2\\ &\log_5x = -1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_5x > \log_525\\ & \log_5x < \log_5{\tfrac{1}{25}}\\ &\log_5x = \log_5{\tfrac{1}{5}} \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $5 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 25\\ & x < \tfrac{1}{25}\\ &x = \tfrac{1}{5} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{25}) \cup \{\tfrac{1}{5}\} \cup (25; + \infty)$

$$(*) x > 0$$ Сделаем замену $t = \log_2x$ $$\frac{5t^2 - 100}{t^2- 25} -4 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{5t^2 - 100 - 4t^2 + 100}{t^2 - 25}\geq 0 \Leftrightarrow\frac{t^2}{(t - 5)(t + 5)}\geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 5\\ & t < -5\\ &t = 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2x > 5\\ & \log_2x < -5\\ &x = 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2x > \log_232\\ & \log_2x < \log_2\tfrac{1}{32}\\ &x = 1 \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $2 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_2x > \log_232\\ & \log_2x < \log_2\tfrac{1}{32}\\ &x = 1 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 32\\ & x < \tfrac{1}{32}\\ &x = 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{32}) \cup \{1\} \cup (32; + \infty)$