( ∗ ) x > 0 (*) x > 0 ( ∗ ) x > 0 log 4 ( 16 x 4 ) = 2 + 4 log 4 x \log_4(16x^4) = 2 + 4\log_4x log 4 ( 16 x 4 ) = 2 + 4 log 4 x t = log 4 x t = \log_4x t = log 4 x 4 t + 13 t 2 − 9 ≥ − 1 \frac{4t + 13}{t^2 - 9} \geq -1 t 2 − 9 4 t + 13 ≥ − 1
Перенесем все в левую часть:
4 t + 13 + t 2 − 9 t 2 − 9 ≥ 0 ⇒ t 2 + 4 t + 4 t 2 − 9 ≥ 0 \frac{4t + 13 + t^2 - 9}{t^2 - 9} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 4t + 4}{t^2 - 9} \geq 0 t 2 − 9 4 t + 13 + t 2 − 9 ≥ 0 ⇒ t 2 − 9 t 2 + 4 t + 4 ≥ 0 ( t + 2 ) 2 ( t − 3 ) ( t + 3 ) ≥ 0 \frac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)} \geq 0 ( t − 3 ) ( t + 3 ) ( t + 2 ) 2 ≥ 0
Решение:
[ t > 3 t = − 2 t < − 3 ⇔ [ log 4 x > 3 log 4 x = − 2 log 4 x < − 3 \left[\begin{aligned}
&t > 3\\
&t = -2\\
&t< -3
\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}
&\log_4x > 3\\
&\log_4x = -2\\
&\log_4x< -3
\end{aligned}\right. t > 3 t = − 2 t < − 3 ⇔ log 4 x > 3 log 4 x = − 2 log 4 x < − 3
С учётом того, что основания логарифмов 4 > 1 4 > 1 4 > 1 ( ∗ ) (*) ( ∗ ) { x > 0 [ log 4 x > log 4 64 log 4 x = log 4 ( 1 16 ) log 4 x < log 4 ( 1 54 ) ⇔ { x > 0 [ log 4 x > 3 log 4 x = − 2 log 4 x < − 3 ⇔ \begin{cases}
x > 0\\
\left[\begin{aligned}
&\log_4x > \log_464\\
&\log_4x = \log_4(\tfrac{1}{16})\\
&\log_4x< \log_4(\tfrac{1}{54})
\end{aligned}\right.
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x > 0\\
\left[\begin{aligned}
&\log_4x > 3\\
&\log_4x = -2\\
&\log_4x< -3
\end{aligned}\right.
\end{cases} \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 log 4 x > log 4 64 log 4 x = log 4 ( 16 1 ) log 4 x < log 4 ( 54 1 ) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 log 4 x > 3 log 4 x = − 2 log 4 x < − 3 ⇔
Ответ: x ∈ ( 0 ; 1 64 ) ∪ { 1 16 } ∪ ( 64 ; + ∞ ) x \in (0; \tfrac{1}{64}) \cup \{\tfrac{1}{16}\} \cup (64; +\infty) x ∈ ( 0 ; 64 1 ) ∪ { 16 1 } ∪ ( 64 ; + ∞ )
