Тип 15 № 11233

$$(*) x > 0$$ Упростим выражения: $$\log_5(25x) = 2 + \log_5x$$ $$\log_5x^4 = 4\log_5x$$ Сделаем замену $t = \log_5x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 2}{t - 2} + \frac{t - 2}{t + 2} \geq \frac{6 - 4t}{t^2 - 4}$$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t+2)^2 + (t-2)^2}{(t-2)(t+2)} \geq \frac{6 - 4t}{(t-2)(t+2)}$$ $$\frac{t^2 + 4t + 4 + t^2 - 4t + 4}{(t-2)(t+2)} \geq \frac{6 - 4t}{(t-2)(t+2)}$$ $$\frac{2t^2 + 8}{(t-2)(t+2)} \geq \frac{6 - 4t}{(t-2)(t+2)}$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{2t^2 + 8 - 6 + 4t}{(t-2)(t+2)} \geq 0$$ $$\frac{2t^2 + 4t + 2}{(t-2)(t+2)} \geq 0$$ $$\frac{2(t+1)^2}{(t-2)(t+2)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 2\\ & t < -2\\ &t = -1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_5x > 2\\ & \log_5x < -2\\ &\log_5x = -1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_5x > \log_525\\ & \log_5x < \log_5{\tfrac{1}{25}}\\ &\log_5x = \log_5{\tfrac{1}{5}} \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $5 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 25\\ & x < \tfrac{1}{25}\\ &x = \tfrac{1}{5} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{25}) \cup \{\tfrac{1}{5}\} \cup (25; + \infty)$