Тип 1 № 11300

Проведём высоту $CP$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его углы при основании AB равны: $$\angle BAC = \angle CBA$$

Тогда:

$$HB = AB\cdot\cos CBA$$

Так как $CP$ это высота проведенная к основанию AB в равнобедренном треугольнике, то она также является медианой, значит $AP = PB = \frac{1}{2}AB$

Из прямоугольного треугольника $ACP$ найдём $AP$ как $AP = AC\cdot\cos CAB$

$$\cos CAB = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$AP = 27 \cdot\frac{\sqrt{5}}{3} = 9\sqrt5{}$$

$$AB = 2AP = 18\sqrt5$$

$$AH = 18\sqrt5\cdot\cos CAB = 18\sqrt5\cdot\frac{\sqrt{5}}{3} = 30$$