Тип 15 № 11417

$$(*) \begin{cases} 2 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x^2 > 0 \\ x^4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-1; 0) \cup (0; 2)$$

Преобразуем неравенство c учётом $(*)$: $$\frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{\log_2^2x^2 + 2\log_2x^2 + 1} \geq 0$$ $$\frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{(\log_2x^2 + 1)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{(\log_2x^2 - \log_2(\tfrac{1}{2}))^2} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(2 - x - x - 1)}{\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2} \geq 0$$ $$\frac{-2x + 1}{\left(x - \frac{\sqrt2}{2}\right)^2\left(x + \frac{\sqrt2}{2}\right)^2} \geq 0$$ $$\frac{2x - 1}{\left(x - \frac{\sqrt2}{2}\right)^2\left(x + \frac{\sqrt2}{2}\right)^2} \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt2}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt2}{2}; \frac{1}{2}\right]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$$

Ответ: $x \in \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$