Логарифмические неравенства метод рационализации

$$(*) \begin{cases} 2 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x^2 > 0 \\ x^4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 2 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-1; 0) \cup (0; 2)$$

Преобразуем неравенство c учётом $(*)$: $$\frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{\log_2^2x^2 + 2\log_2x^2 + 1} \geq 0$$ $$\frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{(\log_2x^2 + 1)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\log_2(2 - x) - \log_2(x + 1)}{(\log_2x^2 - \log_2(\tfrac{1}{2}))^2} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(2 - x - x - 1)}{\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2} \geq 0$$ $$\frac{-2x + 1}{\left(x - \frac{\sqrt2}{2}\right)^2\left(x + \frac{\sqrt2}{2}\right)^2} \geq 0$$ $$\frac{2x - 1}{\left(x - \frac{\sqrt2}{2}\right)^2\left(x + \frac{\sqrt2}{2}\right)^2} \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt2}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt2}{2}; \frac{1}{2}\right]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$$

Ответ: $x \in \left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]$

$$(*) \begin{cases} (x - 7)^2 > 0 \\ (x - 3)^4 > 0 \\ \frac{(x - 3)^3}{x - 7} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 7 \\ x \neq 3 \\ \frac{(x - 3)^3}{x - 7} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 3) \cup (7; +\infty) \\$$

Упростим неравенство: $$\log_{3^2}(x - 7)^2 \cdot \log_{3^4}(x - 3)^4 + \log_3\frac{(x - 3)^3}{x - 7} \geq 3$$ $$\frac{2}{2}\log_3|x - 7| \cdot \frac{4}{4}\log_3|x - 3| + \log_3\frac{(x - 3)^3}{x - 7} \geq 3$$ $$\log_3|x - 7| \cdot \log_3|x - 3| + 3\log_3|x - 3| - \log_3|x - 7| - 3 \geq 0$$

Рассмотрим два случая:

1. Случай $x > 7$: $$(\log_3(x - 7))(\log_3(x - 3) - 1) + 3(\log_3(x - 3) - 1) \geq 0$$ $$(\log_3(x - 3) - 1)(\log_3(x - 7) + 3) \geq 0$$ $$(\log_3(x - 3) - \log_33)\left(\log_3(x - 7) - \log_3\frac{1}{27}\right) \geq 0$$ По методу рационалиации: $$(x - 6)\left(x - \frac{190}{27}\right) \geq 0$$ C учётом $x > 7$, решение неравенства: $$x \geq \frac{190}{27}$$

2. Случай $x < 3$: $$(\log_3(7 - x))(\log_3(3 - x) - 1) + 3(\log_3(3 - x) - 1) \geq 0$$ $$(\log_3(3 - x) - 1)(\log_3(7 - x) + 3) \geq 0$$ $$(\log_3(3 - x) - \log_33)(\log_3(7 - x) - \log_3\tfrac{1}{27}) \geq 0$$ По методу рационализации: $$-x\left(\frac{188}{27} - x\right) \geq 0 \Leftrightarrow x\left(x - \frac{188}{27}\right) \geq 0$$

С учётом $x < 3$, решение неравенства: $$x \leq 0$$

Объединяя решения и учитывая ограничения (*), получаем: $$x \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{190}{27}; +\infty\right)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{190}{27}; +\infty\right)$

$$(*) \begin{cases} 5x - 27 > 0 \\ x - 5 > 0 \\ \log_5(x - 5) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{27}{5} \\ x > 5 \\ x \neq 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (5,4; 6) \cup (6; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\frac{\log_5(5x - 27)}{\log_5(x - 5)} - 1 \geq 0$$ $$\frac{\log_5(5x - 27) - \log_5(x - 5)}{\log_5(x - 5)} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(5x - 27 - x + 5)}{(x - 6)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(4x - 22)}{(x - 6)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 5,5)}{(x - 6)} \geq 0$$

C учетом ограничений (*), получаем: $$x \in (5,4; 5,5] \cup (6; +\infty)$$

Ответ: $x \in (5,4; 5,5] \cup (6; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} x - 5 > 0 \\ x - 7 > 0 \\ x^2 - 10x + 25 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 5 \\ x > 7 \\ (x - 5)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 7 \\ x \neq 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (7; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.2 = 5^{-1} \Rightarrow \log_{0.2}(x - 5) = -\log_5(x - 5)$$ $$\log_{0.2}^2(x - 5) = (\log_5(x - 5))^2$$ $$\log_5(x^2 - 10x + 25) = \log_5((x - 5)^2) = 2\log_5|x - 5| = 2\log_5(x - 5)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_5(x - 5))^2 - 2\log_5(x - 5) + 1) \cdot \log_5(x - 7) \leq 0$$ $$(\log_5(x - 5) - 1)^2 \cdot \log_5(x - 7) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_5(x - 5) - \log_5 5)^2 \cdot (\log_5(x - 7) - \log_5 1) \leq 0$$ $$(x - 5 - 5)^2 \cdot (x - 7 - 1) \leq 0$$ $$(x - 10)^2 \cdot (x - 8) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 8] \cup \{10\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (7; 8] \cup \{10\}$$

Ответ: $x \in (7; 8] \cup \{10\}$

$$(*) \begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x^2 + 6x + 9 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -3 \\ x > -2 \\ (x + 3)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \neq -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.25 = 4^{-1} \Rightarrow \log_{0.25}(x + 3) = -\log_4(x + 3)$$ $$\log_{0.25}^2(x + 3) = (\log_4(x + 3))^2$$ $$\log_4(x^2 + 6x + 9) = \log_4((x + 3)^2) = 2\log_4|x + 3| = 2\log_4(x + 3)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_4(x + 3))^2 - 2\log_4(x + 3) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$ $$(\log_4(x + 3) - 1)^2 \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_4(x + 3) - \log_4 4)^2 \cdot (\log_4(x + 2) - \log_4 1) \leq 0$$ $$\left(\frac{x + 3}{4} - 1\right)^2 \cdot (x + 2 - 1) \leq 0$$ $$(x - 1)^2 \cdot (x + 1) \leq 0$$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -1] \cup \{1\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-2; -1] \cup \{1\}$$

Ответ: $x \in (-2; -1] \cup \{1\}$