( ∗ ) { 8 x 2 + 7 > 0 x 2 + x + 1 > 0 x x + 5 + 7 > 0 ⇔ x x + 5 + 7 > 0 ⇔ (*)
\begin{cases}
8x^2 + 7 > 0 \\
x^2 + x + 1 > 0 \\
\tfrac{x}{x + 5} + 7 > 0
\end{cases}
\Leftrightarrow \tfrac{x}{x + 5} + 7 > 0 \Leftrightarrow ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ 8 x 2 + 7 > 0 x 2 + x + 1 > 0 x + 5 x + 7 > 0 ⇔ x + 5 x + 7 > 0 ⇔
⇔ 8 x + 35 x + 5 > 0 ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 5 ) ∪ ( − 35 8 ; + ∞ ) \Leftrightarrow \tfrac{8x + 35}{x + 5} > 0
\Rightarrow x \in (-\infty; -5) \cup \left(-\tfrac{35}{8}; +\infty\right) ⇔ x + 5 8 x + 35 > 0 ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 5 ) ∪ ( − 8 35 ; + ∞ )
Преобразуем исходное неравенство:
log 11 ( 8 x 2 + 7 x 2 + x + 1 ) ≥ log 11 ( 8 x + 35 x + 5 ) \log_{11}\left(\tfrac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1}\right) \geq \log_{11}\left(\tfrac{8x + 35}{x + 5}\right) log 11 ( x 2 + x + 1 8 x 2 + 7 ) ≥ log 11 ( x + 5 8 x + 35 )
Так как основание логарифма 11 > 1 11 > 1 11 > 1 8 x 2 + 7 x 2 + x + 1 ≥ 8 x + 35 x + 5 ⇔ 8 x 2 + 7 x 2 + x + 1 − 8 x + 35 x + 5 ≥ 0 \frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x + 5} \Leftrightarrow
\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} - \frac{8x + 35}{x + 5} \geq 0 x 2 + x + 1 8 x 2 + 7 ≥ x + 5 8 x + 35 ⇔ x 2 + x + 1 8 x 2 + 7 − x + 5 8 x + 35 ≥ 0 ( 8 x 2 + 7 ) ( x + 5 ) − ( 8 x + 35 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) ≥ 0 \frac{(8x^2 + 7)(x + 5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0 ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) ( 8 x 2 + 7 ) ( x + 5 ) − ( 8 x + 35 ) ( x 2 + x + 1 ) ≥ 0 8 x 3 + 40 x 2 + 7 x + 35 − 8 x 3 − 8 x 2 − 8 x − 35 x 2 − 35 x − 35 ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) ≥ 0 \frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - 8x^3 - 8x^2 - 8x - 35x^2 - 35x - 35}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0 ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) 8 x 3 + 40 x 2 + 7 x + 35 − 8 x 3 − 8 x 2 − 8 x − 35 x 2 − 35 x − 35 ≥ 0 − 3 x 2 − 36 x ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) ≥ 0 \frac{-3x^2 - 36x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0 ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) − 3 x 2 − 36 x ≥ 0 − x 2 − 12 x ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) ≥ 0 \frac{-x^2 - 12x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0 ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) − x 2 − 12 x ≥ 0
Домножим обе части на − 1 -1 − 1 x 2 + 12 x ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) ≤ 0 \frac{x^2 + 12x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \leq 0 ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) x 2 + 12 x ≤ 0 x ( x + 12 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) ≤ 0 \frac{x(x + 12)}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \leq 0 ( x 2 + x + 1 ) ( x + 5 ) x ( x + 12 ) ≤ 0
Решение неравенства:
x ∈ ( − ∞ ; − 12 ] ∪ ( − 5 ; 0 ] x \in (-\infty; -12] \cup (-5; 0] x ∈ ( − ∞ ; − 12 ] ∪ ( − 5 ; 0 ]
Учитывая ограничения ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( − ∞ ; − 12 ] ∪ ( − 35 8 ; 0 ] x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\tfrac{35}{8}; 0\right] x ∈ ( − ∞ ; − 12 ] ∪ ( − 8 35 ; 0 ]
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 12 ] ∪ ( − 35 8 ; 0 ] x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\tfrac{35}{8}; 0\right] x ∈ ( − ∞ ; − 12 ] ∪ ( − 8 35 ; 0 ]
