Логарифмические неравенства первой степени

$$(*) \begin{cases} (2 - x)(x^2 + 7) > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2 > x \quad (\text{так как } x^2 + 7 > 0 \text{ для всех } x) \\ (x-2)(x-3) > 0 \\ x < 5 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x < 2 \quad \\ x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x < 2$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{\tfrac{1}{4}}((2 - x)(x^2 + 7)) \leq \log_{\tfrac{1}{4}}((x^2 - 5x + 6)(5 - x))$$

Так как основание логарифма $\tfrac{1}{4} < 1$, неравенство равносильно: $$(2 - x)(x^2 + 7) \geq (x^2 - 5x + 6)(5 - x)$$ $$(2 - x)(x^2 + 7) \geq (x - 2)(x - 3)(5 - x)$$ $$(2 - x)(x^2 + 7) + (2 - x)(x - 3)(5 - x) \geq 0$$ $$(2 - x)(x^2 + 7 + (x - 3)(5 - x)) \geq 0$$ $$(2 - x)(x^2 + 7 + 5x - x^2 - 15 + 3x) \geq 0$$ $$(2 - x)(8x - 8) \geq 0$$ $$8(2 - x)(x - 1) \geq 0$$ $$(2 - x)(x - 1) \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in [1; 2]$$

Учитывая ограничение $(*)$ $x < 2$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; 2)$$

Ответ: $x \in [1; 2)$

$$(*) 5 - 2^x > 0 \Rightarrow 2^x < 5 \Rightarrow x < \log_2 5$$

Сравним основание логарифма с 1: $$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{13}}{5} > 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} + \sqrt{13} > 5 \Leftrightarrow4 + 2\sqrt{26} + 13 > 25 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\sqrt{26} > 10 \Leftrightarrow 104 > 100 \text{ верно }$$ Таким образом, основание логарифма: $$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{13}}{5} > 1$$

Так как основание логарифма больше 1, неравенство равносильно: $$4 \geq 5 - 2^x \Rightarrow 2^x \geq 1 \Rightarrow x \geq 0$$

Учитывая ограничение $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [0; \log_2 5)$$

Ответ: $x \in [0; \log_2 5)$

$$(*) \begin{cases} 2x^2 + 1 > 0 \\ \tfrac{1}{32x} + 1 > 0 \\ \tfrac{x}{16} + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{1 + 32x}{32x} > 0 \\ \tfrac{x + 16}{16} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\tfrac{1}{32}) \cup (0; +\infty) \\ x > -16 \end{cases} \Rightarrow x \in (-16; -\tfrac{1}{32}) \cup (0; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{11}\left((2x^2 + 1)\left(\tfrac{1 + 32x}{32x}\right)\right) \geq \log_{11}\left(\tfrac{x + 16}{16}\right)$$

Так как основание логарифма $11 > 1$, неравенство равносильно: $$\tfrac{(2x^2 + 1)(1 + 32x)}{32x} \geq \tfrac{x + 16}{16}$$ $$\tfrac{(2x^2 + 1)(1 + 32x)}{32x} - \tfrac{x + 16}{16} \geq 0$$ $$\tfrac{(2x^2 + 1)(1 + 32x) - 2x(x + 16)}{32x} \geq 0$$ $$\tfrac{2x^2 + 64x^3 + 1 + 32x - 2x^2 - 32x}{32x} \geq 0$$ $$\tfrac{64x^3 + 1}{32x} \geq 0$$ Разложим числитель на множители по формуле суммы кубов: $$\tfrac{(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)}{32x} \geq 0$$ Учитывая, что $16x^2 - 4x + 1 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, неравенство упрощается до: $$\tfrac{4x + 1}{32x} \geq 0$$ $$\tfrac{x + \tfrac{1}{4}}{x} \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -\tfrac{1}{4}] \cup (0; +\infty)$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-16; -\tfrac{1}{4}] \cup (0; +\infty)$$

Ответ: $x \in (-16; -\tfrac{1}{4}] \cup (0; +\infty)$

$$(*) \begin{cases} 8x^2 + 7 > 0 \\ x^2 + x + 1 > 0 \\ \tfrac{x}{x + 5} + 7 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \tfrac{x}{x + 5} + 7 > 0 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \tfrac{8x + 35}{x + 5} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -5) \cup \left(-\tfrac{35}{8}; +\infty\right)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{11}\left(\tfrac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1}\right) \geq \log_{11}\left(\tfrac{8x + 35}{x + 5}\right)$$

Так как основание логарифма $11 > 1$, неравенство равносильно: $$\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \geq \frac{8x + 35}{x + 5} \Leftrightarrow \frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} - \frac{8x + 35}{x + 5} \geq 0$$ $$\frac{(8x^2 + 7)(x + 5) - (8x + 35)(x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$ $$\frac{8x^3 + 40x^2 + 7x + 35 - 8x^3 - 8x^2 - 8x - 35x^2 - 35x - 35}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$ $$\frac{-3x^2 - 36x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$ $$\frac{-x^2 - 12x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \geq 0$$

Домножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$\frac{x^2 + 12x}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \leq 0$$ $$\frac{x(x + 12)}{(x^2 + x + 1)(x + 5)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -12] \cup (-5; 0]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\tfrac{35}{8}; 0\right]$$

Ответ: $x \in (-\infty; -12] \cup \left(-\tfrac{35}{8}; 0\right]$

$$(*) \begin{cases} (4 - x)(x^2 + 29) > 0 \\ x^2 - 10x + 24 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4 - x > 0 \quad (\text{так как } x^2 + 29 > 0 \text{ для всех } x) \\ (x - 4)(x - 6) > 0 \\ x < 7 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty) \\ x < 7 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{\frac{1}{3}}((4 - x)(x^2 + 29)) \leq \log_{\frac{1}{3}}((x^2 - 10x + 24)(7 - x))$$

Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, неравенство равносильно: $$(4 - x)(x^2 + 29) \geq (x^2 - 10x + 24)(7 - x)$$ $$(4 - x)(x^2 + 29) \geq (x - 4)(x - 6)(7 - x)$$

Умножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$(x - 4)(x^2 + 29) \leq (x - 4)(x - 6)(x - 7)$$

Так как $x < 4$, то $x - 4 < 0$, поэтому при делении на $(x - 4)$ знак неравенства меняется: $$x^2 + 29 \geq (x - 6)(x - 7)$$ $$x^2 + 29 \geq x^2 - 13x + 42$$ $$13x \geq 13 \Rightarrow x \geq 1$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; 4)$$

Ответ: $x \in [1; 4)$