Тип 15 № 11422

$$(*) \begin{cases} (4 - x)(x^2 + 29) > 0 \\ x^2 - 10x + 24 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4 - x > 0 \quad (\text{так как } x^2 + 29 > 0 \text{ для всех } x) \\ (x - 4)(x - 6) > 0 \\ x < 7 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty) \\ x < 7 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 4)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_{\frac{1}{3}}((4 - x)(x^2 + 29)) \leq \log_{\frac{1}{3}}((x^2 - 10x + 24)(7 - x))$$

Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, неравенство равносильно: $$(4 - x)(x^2 + 29) \geq (x^2 - 10x + 24)(7 - x)$$ $$(4 - x)(x^2 + 29) \geq (x - 4)(x - 6)(7 - x)$$

Умножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$(x - 4)(x^2 + 29) \leq (x - 4)(x - 6)(x - 7)$$

Так как $x < 4$, то $x - 4 < 0$, поэтому при делении на $(x - 4)$ знак неравенства меняется: $$x^2 + 29 \geq (x - 6)(x - 7)$$ $$x^2 + 29 \geq x^2 - 13x + 42$$ $$13x \geq 13 \Rightarrow x \geq 1$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; 4)$$

Ответ: $x \in [1; 4)$