Тип 15 № 11423

$$(*) \begin{cases} (x - 7)^2 > 0 \\ (x - 3)^4 > 0 \\ \frac{(x - 3)^3}{x - 7} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 7 \\ x \neq 3 \\ \frac{(x - 3)^3}{x - 7} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 3) \cup (7; +\infty) \\$$

Упростим неравенство: $$\log_{3^2}(x - 7)^2 \cdot \log_{3^4}(x - 3)^4 + \log_3\frac{(x - 3)^3}{x - 7} \geq 3$$ $$\frac{2}{2}\log_3|x - 7| \cdot \frac{4}{4}\log_3|x - 3| + \log_3\frac{(x - 3)^3}{x - 7} \geq 3$$ $$\log_3|x - 7| \cdot \log_3|x - 3| + 3\log_3|x - 3| - \log_3|x - 7| - 3 \geq 0$$

Рассмотрим два случая:

1. Случай $x > 7$: $$(\log_3(x - 7))(\log_3(x - 3) - 1) + 3(\log_3(x - 3) - 1) \geq 0$$ $$(\log_3(x - 3) - 1)(\log_3(x - 7) + 3) \geq 0$$ $$(\log_3(x - 3) - \log_33)\left(\log_3(x - 7) - \log_3\frac{1}{27}\right) \geq 0$$ По методу рационалиации: $$(x - 6)\left(x - \frac{190}{27}\right) \geq 0$$ C учётом $x > 7$, решение неравенства: $$x \geq \frac{190}{27}$$

2. Случай $x < 3$: $$(\log_3(7 - x))(\log_3(3 - x) - 1) + 3(\log_3(3 - x) - 1) \geq 0$$ $$(\log_3(3 - x) - 1)(\log_3(7 - x) + 3) \geq 0$$ $$(\log_3(3 - x) - \log_33)(\log_3(7 - x) - \log_3\tfrac{1}{27}) \geq 0$$ По методу рационализации: $$-x\left(\frac{188}{27} - x\right) \geq 0 \Leftrightarrow x\left(x - \frac{188}{27}\right) \geq 0$$

С учётом $x < 3$, решение неравенства: $$x \leq 0$$

Объединяя решения и учитывая ограничения (*), получаем: $$x \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{190}{27}; +\infty\right)$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup \left[\frac{190}{27}; +\infty\right)$