Тип 15 № 11426

$$(*) \begin{cases} (2 - x)(x^2 + 5) > 0 \\ x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$$

Так как $x^2 + 5 > 0$ для всех $x$, первое неравенство упрощается: $$2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$$

Второе неравенство: $$x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$$

Третье неравенство: $$4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$$

Пересекая все ограничения, получаем: $$x \in (-\infty; 2)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_3((2 - x)(x^2 + 5)) \geq \log_3((x^2 - 5x + 6)(4 - x))$$

Так как основание логарифма $3 > 1$, неравенство равносильно: $$(2 - x)(x^2 + 5) \geq (x^2 - 5x + 6)(4 - x)$$ $$(2 - x)(x^2 + 5) \geq (x - 2)(x - 3)(4 - x)$$

Умножим обе части на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$(x - 2)(x^2 + 5) \leq (x - 2)(x - 3)(x - 4)$$

Так как $x < 2$, то можем разделить обе части на $(x - 2)$, при этом знак неравенства изменится: $$x^2 + 5 \geq (x - 3)(x - 4)$$ $$x^2 + 5 \geq x^2 - 7x + 12$$ $$7x \geq 7 \Rightarrow x \geq 1$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; 2)$$

Ответ: $x \in [1; 2)$