Тип 15 № 11427

$$(*) \begin{cases} 2 + \frac{2}{x} > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{2x + 2}{x} > 0 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-3; -1) \cup (0; +\infty)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $\frac{6 + x}{x^2} > 0$ автоматически.

Преобразуем неравенство: $$\log_7\left(2 + \frac{2}{x}\right) \leq \log_7\left(\frac{6 + x}{x^2}\right) + \log_7(x + 3)$$ $$\log_7\left(2 + \frac{2}{x}\right) \leq \log_7\left(\frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2}\right)$$

Основания логарифмов равны $7 > 1$, неравенство равносильно: $$2 + \frac{2}{x} \leq \frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2}$$

$$2 + \frac{2}{x} \leq \frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2}$$ $$\frac{2x + 2}{x} - \frac{(6 + x)(x + 3)}{x^2} \leq 0$$ $$\frac{2x^2 + 2x - (x^2 + 9x + 18)}{x^2} \leq 0$$ $$\frac{x^2 - 7x - 18}{x^2} \leq 0$$ $$\frac{(x + 2)(x - 9)}{x^2} \leq 0$$

Применяем метод интервалов:

Решение неравенства: $$x \in [-2; 0) \cup (0; 9]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [-2; -1) \cup (0; 9]$$

Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (0; 9]$