Тип 15 № 11428

$$(*) \begin{cases} (4 - x)^2 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 4 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow x \in \left(\frac{1}{2};4\right) \cup (4; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_2(4 - x)^2 + \log_2(2x - 1)^2 \leq \log_23^4$$ $$\log_2\left((4 - x)^2(2x - 1)^2\right) \leq \log_281$$

Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство равносильно: $$(4 - x)^2(2x - 1)^2 \leq 81$$ $$81 - (4 - x)^2(2x - 1)^2 \geq 0 \Leftrightarrow 3^4 - (4 - x)^2(2x - 1)^2 \geq 0$$

По разности квадратов имеем: $$(9 - (4 - x)(2x - 1))(9 + (4 - x)(2x - 1)) \geq 0$$ $$(9 - (8x - 2x^2 - 4 + x))(9 + (8x - 2x^2 - 4 + x)) \geq 0$$ $$(9 + 2x^2 - 9x + 4)(-2x^2 + 9x + 5) \geq 0$$ $$(2x^2 - 9x + 13)(2x^2 - 9x - 5) \leq 0$$

Так как $2x^2 - 9x + 13 > 0$ при любых $x$ (дискриминант отрицательный), можем разделить обе части на этот положительный множитель: $$2x^2 - 9x - 5 \leq 0$$ $$2(x - 5)\left(x + \frac{1}{2}\right) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in \left[-\frac{1}{2}; 5\right]$$

Учитывая ограничения $(*)$ $x \in \left(\frac{1}{2}; 4\right) \cup \left(4; +\infty\right)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(\frac{1}{2}; 4\right) \cup \left(4; 5\right]$$

Ответ: $x \in \left(\frac{1}{2}; 4\right) \cup \left(4; 5\right]$