Тип 15 № 11431

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_2(1 - 2x)^2 - \log_2\left(\frac{1}{x} - 2\right) \leq \log_2(4x^2 + 6x - 1)$$ $$\log_2\left(\frac{(1 - 2x)^2}{\frac{1}{x} - 2}\right) \leq \log_2(4x^2 + 6x - 1)$$

Так как основания логарифмов равны $2 > 1$, неравенство равносильно: $$\frac{(1 - 2x)^2}{\frac{1}{x} - 2} \leq 4x^2 + 6x - 1$$

$$(*) \begin{cases} (1 - 2x)^2 > 0 \\ \tfrac{1}{x} - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq \frac{1}{2} \\ \tfrac{1 - 2x}{x} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in \left(0; \frac{1}{2}\right)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $4x^2 + 6x - 1$ автоматически положительно:

$$\frac{(1 - 2x)^2}{\frac{1 - 2x}{x}} \leq 4x^2 + 6x - 1$$ $$(1 - 2x)^2 \leq (4x^2 + 6x - 1) \cdot \left(\frac{1 - 2x}{x}\right)$$ С учётом $(*)$, можем разделить обе части неравенства на $1 - 2x$: $$1 - 2x \leq \frac{4x^2 + 6x - 1}{x}$$ $$1 - 2x - \frac{4x^2 + 6x - 1}{x} \leq 0$$ $$\frac{x - 2x^2 - 4x^2 - 6x + 1}{x} \leq 0$$ $$\frac{-6x^2 - 5x + 1}{x} \leq 0$$ $$\frac{6x^2 + 5x - 1}{x} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(x + 1)(6x - 1)}{x} \geq 0$$ $$\frac{(x + 1)\left(x - \frac{1}{6}\right)}{x} \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in [-1; 0) \cup \left[\frac{1}{6}; +\infty\right)$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left[\frac{1}{6}; \frac{1}{2}\right)$$

Ответ: $x \in \left[\frac{1}{6}; \frac{1}{2}\right)$