Неравенства повышенной сложности

Прологарифмируем обе части по основанию 4, так как левая часть неравенства положительна при любом $x$: $$\log_4(4^{x^2}\cdot7^{x - 1}) \geq \log_4 4$$ $$x^2 + (x - 1)\log_4 7 \geq 1$$ $$x^2 + x\log_4 7 - \log_4 7 - 1 \geq 0$$ $$x^2 + x\log_4 7 - (1 + \log_4 7) \geq 0$$ Разложим на множители: $$x^2 - 1 + x\log_4 7 -\log_4 7 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) + x\log_4 7 -\log_4 7 \geq 0$$ $$(x - 1)(x + 1) + \log_4 7(x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1+ \log_4 7) \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \leq -1 - \log_4 7 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

Ответ: $x \in (-\infty; -1 - \log_4 7] \cup [1; +\infty)$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_2(1 - 2x)^2 - \log_2\left(\frac{1}{x} - 2\right) \leq \log_2(4x^2 + 6x - 1)$$ $$\log_2\left(\frac{(1 - 2x)^2}{\frac{1}{x} - 2}\right) \leq \log_2(4x^2 + 6x - 1)$$

Так как основания логарифмов равны $2 > 1$, неравенство равносильно: $$\frac{(1 - 2x)^2}{\frac{1}{x} - 2} \leq 4x^2 + 6x - 1$$

$$(*) \begin{cases} (1 - 2x)^2 > 0 \\ \tfrac{1}{x} - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq \frac{1}{2} \\ \tfrac{1 - 2x}{x} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in \left(0; \frac{1}{2}\right)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $4x^2 + 6x - 1$ автоматически положительно:

$$\frac{(1 - 2x)^2}{\frac{1 - 2x}{x}} \leq 4x^2 + 6x - 1$$ $$(1 - 2x)^2 \leq (4x^2 + 6x - 1) \cdot \left(\frac{1 - 2x}{x}\right)$$ С учётом $(*)$, можем разделить обе части неравенства на $1 - 2x$: $$1 - 2x \leq \frac{4x^2 + 6x - 1}{x}$$ $$1 - 2x - \frac{4x^2 + 6x - 1}{x} \leq 0$$ $$\frac{x - 2x^2 - 4x^2 - 6x + 1}{x} \leq 0$$ $$\frac{-6x^2 - 5x + 1}{x} \leq 0$$ $$\frac{6x^2 + 5x - 1}{x} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(x + 1)(6x - 1)}{x} \geq 0$$ $$\frac{(x + 1)\left(x - \frac{1}{6}\right)}{x} \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in [-1; 0) \cup \left[\frac{1}{6}; +\infty\right)$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left[\frac{1}{6}; \frac{1}{2}\right)$$

Ответ: $x \in \left[\frac{1}{6}; \frac{1}{2}\right)$

$$(*) 7 - 2^x > 0 \Rightarrow 2^x < 7 \Rightarrow x < \log_2 7$$

Сравним основание логарифма с 1: $$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{6} > 1 \Leftrightarrow \sqrt{3} + \sqrt{19} > 6 \Leftrightarrow 3 + 2\sqrt{57} + 19 > 36 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\sqrt{57} > 14 \Leftrightarrow 228 > 196 \text{ верно }$$ Таким образом, основание логарифма: $$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{19}}{6} > 1$$

Так как основание логарифма больше 1, неравенство равносильно: $$5 \geq 7 - 2^x \Rightarrow 2^x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$$

Учитывая ограничение $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [1; \log_2 7)$$

Ответ: $x \in [1; \log_2 7)$

$$(*) 6x - x^2 - 7 > 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 7 < 0 \Leftrightarrow (x - 3 - \sqrt2)(x - 3 + \sqrt2) < 0$$ $$x \in (3 - \sqrt2; 3 + \sqrt2)$$ Вернёмся к неравенству: $$\frac{1}{7^{|x - 3|}}\log_2(6x - x^2 - 7) \geq 1$$ Учитывая, что $7^{|x - 3|} > 0$ при любом значении $x$: $$\log_2(6x - x^2 - 7) \geq 7^{|x - 3|}$$ Проанализируем обе части неравенства.

Слева от знака неравенства логарифм по основанию $2 > 1$, значит большему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.

Аргументом логарифма является квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при старшей степени. Значит наибольшее значение функция принимает в точке $x_0 = \frac{-6}{-2} = 3$.

Найдём значение аргумента в этой точке: $6\cdot 3 - 9 - 7 = 2$.

Тогда наибольшее значение левой части неравенства равно: $$\log_22 = 1$$

Рассмотрим правую часть неравенства. $7^{|x - 3|}$ – монотонно возрастающая функция, причем её показатель всегда неотрицателен. Значит наименьшее её значение будет в точке, где показатель равен 0. $$|x - 3| = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 7^{|3 -3|} = 1$$ Получаем, что максимальное значение левой части неравенства и минимальное значение правой части неравенства равны $1$ и достигаются в точке $x = 3$.

Тогда неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна правой части, то есть в точке $x = 3$.

Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $(*)$.

Ответ: $\{3\}$;

$$(*) 6x - x^2 - 6 > 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 6 < 0 \Leftrightarrow (x - 3 - \sqrt3)(x - 3 + \sqrt3) < 0$$ $$x \in (3 - \sqrt3; 3 + \sqrt3)$$ Вернёмся к неравенству: $$\frac{1}{6^{|x - 3|}}\log_3(6x - x^2 - 6) \geq 1$$ Учитывая, что $6^{|x - 3|} > 0$ при любом значении $x$: $$\log_3(6x - x^2 - 6) \geq 6^{|x - 3|}$$ Проанализируем обе части неравенства.

Слева от знака неравенства логарифм по основанию $3 > 1$, значит большему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.

Аргументом логарифма является квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при старшей степени. Значит наибольшее значение функция принимает в точке $x_0 = \frac{-6}{-2} = 3$.

Найдём значение аргумента в этой точке: $6\cdot 3 - 9 - 6 = 3$.

Тогда наибольшее значение левой части неравенства равно: $$\log_33 = 1$$

Рассмотрим правую часть неравенства. $6^{|x - 3|}$ – монотонно возрастающая функция, причем её показатель всегда неотрицателен. Значит наименьшее её значение будет в точке, где показатель равен 0. $$|x - 3| = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 6^{|3 -3|} = 1$$ Получаем, что максимальное значение левой части неравенства и минимальное значение правой части неравенства равны $1$ и достигаются в точке $x = 3$.

Тогда неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна правой части, то есть в точке $x = 3$.

Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $(*)$.

Ответ: $\{3\}$;