Тип 15 № 11432

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_3\left((2x + 1)\left(\frac{1}{32x^2} + 1\right)\right) \geq \log_3\left(\frac{1}{16x} + 1\right)$$

Так как основания логарифмов равны $3 > 1$, неравенство равносильно: $$(2x + 1)\left(\frac{1}{32x^2} + 1\right) \geq \frac{1}{16x} + 1$$

$$(*) \begin{cases} \frac{1}{16x} + 1 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1 + 16x}{16x} > 0 \\ x > -\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\frac{1}{16}) \cup (0; +\infty) \\ x > -\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow x \in \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{16}\right) \cup (0; +\infty)$$

Решаем основное неравенство: $$(2x + 1)\left(\frac{1}{32x^2} + 1\right) \geq \frac{1}{16x} + 1$$ $$\frac{2x + 1 + 64x^3 + 32x^2}{32x^2} \geq \frac{1 + 16x}{16x}$$ $$\frac{64x^3 + 32x^2 + 2x + 1}{32x^2} \geq \frac{1 + 16x}{16x}$$ $$\frac{64x^3 + 32x^2 + 2x + 1 - 2x - 32x^2}{32x^2} \geq 0$$ $$\frac{64x^3 + 1}{32x^2} \geq 0$$ Разложим числитель по формуле суммы кубов: $$\frac{(4x + 1)(16x^2 - 4x + 1)}{32x^2} \geq 0$$ Так как $16x^2 - 4x + 1 >0$ при любом значении $x$, неравенство равносильно: $$\frac{4x + 1}{32x^2} \geq 0$$ Знаменатель положителен при любом $x$, следовательно знак неравенства определяет только числитель: $$4x + 1 \geq 0 \cup x \neq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{4} \cup x \neq 0$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left[-\frac{1}{4}; -\frac{1}{16}\right) \cup (0; +\infty)$$

Ответ: $x \in \left[-\frac{1}{4}; -\frac{1}{16}\right) \cup (0; +\infty)$