Тип 15 № 11433

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_2((x - 1)(x^2 + 3)) \leq \log_2((4x - x^2 - 3)(5 - x))$$

$$(*) \begin{cases} (x - 1)(x^2 + 3) > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (1;5)$$

Так как основание логарифма $2 > 1$, с учётом $(*)$ неравенство равносильно: $$(x - 1)(x^2 + 3) \leq (4x - x^2 - 3)(5 - x)$$ $$(x - 1)(x^2 + 3) \leq (x - 3)(1 - x)(5 - x)$$ $$(x - 1)(x^2 + 3) - (x - 3)(1 - x)(5 - x) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^2 + 3) + (x - 3)(x - 1)(5 - x) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^2 + 3 + (x - 3)(5 - x)) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^2 + 3 + 5x - x^2 - 15 + 3x) \leq 0$$ $$(x - 1)(8x - 12) \leq 0$$ $$4(x - 1)(2x - 3) \leq 0$$ $$(x - 1)(2x - 3) \leq 0$$

$$x \in [1;1{,}5]$$

Учитывая $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (1;1{,}5]$$

Ответ: $x \in (1;1{,}5]$