Тип 15 № 11434

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_5((3-x)(x^2+2)) \geq \log_5((x^2-7x+12)(5-x))$$

$$(*) \begin{cases} x^2-7x+12 > 0 \\ 5-x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-3)(x-4) > 0 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty;3) \cup (4;5)$$

Если выполняется условие $(*)$, то аргумент левого логарифма автоматически становится положительным. Так как основание логарифма 5 > 1, с учётом $(*)$ получаем равносильное неравенство: $$(3-x)(x^2+2) \geq (x^2-7x+12)(5-x)$$ $$(3-x)(x^2+2) - (x-3)(x-4)(5-x) \geq 0$$ $$(3-x)(x^2+2 + (x-4)(5-x)) \geq 0$$ $$(3-x)(x^2+2 + 5x-x^2-20+4x) \geq 0$$ $$(3-x)(9x-18) \geq 0$$ $$9(3-x)(x-2) \geq 0$$ $$(3-x)(x-2) \geq 0$$

$x \in [2;3]$

Учитывая $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [2;3)$$

Ответ: $x \in [2;3)$