Тип 15 № 11435

$$(*) \begin{cases} x^2 + x - 2 > 0\\ \tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 2)(x - 1) > 0\\ \tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$$

Преобразуем неравенство: $$9\log_7(x^2 + x - 2) - \log_7\tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} \leq 10$$ $$\log_7(x^2 + x - 2)^9 - \log_7\tfrac{(x - 1)^9}{x + 2} \leq 10$$ $$\log_7\left(\tfrac{(x^2 + x - 2)^9 \cdot (x + 2)}{(x - 1)^9}\right) \leq 10$$ $$\tfrac{(x^2 + x - 2)^9 \cdot (x + 2)}{(x - 1)^9} \leq 7^{10}$$

Упростим выражение: $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$ $$\tfrac{((x + 2)(x - 1))^9 \cdot (x + 2)}{(x - 1)^9} = (x + 2)^{10}$$ Таким образом, неравенство принимает вид: $$(x + 2)^{10} \leq 7^{10}$$ $$|x + 2| \leq 7$$ $$-7 \leq x + 2 \leq 7$$ $$-9 \leq x \leq 5$$

Учитывая ограничение $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$, получаем: $$x \in [-9; -2) \cup (1; 5]$$

Ответ: $x \in [-9; -2) \cup (1; 5]$