Тип 15 № 11436

Преобразуем исходное неравенство: $$\log_2(x - 1)(x^2 + 2) - 1 + \log_2x \leq \log_2(x^2 + 3x - 4) \Leftrightarrow \log_2(x - 1)(x^2 + 2) - \log_22 + \log_2x \leq \log_2(x^2 + 3x - 4)$$ $$\log_2\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x}{2} \leq \log_2(x^2 + 3x - 4)$$ $$(*)\begin{cases} (x - 1)(x^2 + 2) > 0\\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$$

Так как основания логарифмов $2 > 1$, то $x^2+ 3x - 4 >0$ автоматически c учётом $(*)$ и неравенство равносильно: $$\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x}{2} \leq x^2 + 3x - 4$$ $$\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x}{2} \leq (x - 1)(x + 4)$$ $$\frac{(x - 1)(x^2 + 2)x - 2(x - 1)(x + 4)}{2} \leq 0$$ $$\frac{(x - 1)((x^2 + 2)x - 2(x + 4))}{2} \leq 0$$ $$(x - 1)(x^3 + 2x - 2x - 8) \leq 0$$ $$(x - 1)(x^3 - 8)\leq 0$$ $$(x - 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)\leq 0$$ $x^2 + 2x + 4 > 0$, разделим на этот множитель обе части. $$(x - 1)(x - 2) \leq 0$$

$$x \in [1; 2]$$

С учётом $(*) x > 1$, получаем: $x \in (1; 2]$

Ответ: $x \in(1; 2]$