Тип 15 № 11440

$$(*) \begin{cases} x^3 - 3x^2 + 3x - 1 > 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^3 > 0 \\ (x-1)(x+1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \end{cases} \Rightarrow x \in (1; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_{2^3}(x-1)^3 \geq \log_2(x^2 - 1) - \log_2 32$$ $$\frac{3}{3}\log_2(x-1) \geq \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{32}\right)$$ $$\log_2(x-1) \geq \log_2\left(\frac{x^2 - 1}{32}\right)$$

Так как основания логарифмов $2 > 1$, неравенство равносильно: $$x - 1 \geq \frac{x^2 - 1}{32}$$ $$32(x - 1) - (x^2 - 1) \geq 0$$ $$- x^2 + 32x - 31 \geq 0$$ $$x^2 - 32x + 31 \leq 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 31) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in [1; 31]$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (1; 31]$$

Ответ: $x \in (1; 31]$