Тип 15 № 11441

$$(*) \begin{cases} x - 5 > 0 \\ x - 7 > 0 \\ x^2 - 10x + 25 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 5 \\ x > 7 \\ (x - 5)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 7 \\ x \neq 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (7; +\infty)$$

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$0.2 = 5^{-1} \Rightarrow \log_{0.2}(x - 5) = -\log_5(x - 5)$$ $$\log_{0.2}^2(x - 5) = (\log_5(x - 5))^2$$ $$\log_5(x^2 - 10x + 25) = \log_5((x - 5)^2) = 2\log_5|x - 5| = 2\log_5(x - 5)$$

Подставим в исходное неравенство: $$((\log_5(x - 5))^2 - 2\log_5(x - 5) + 1) \cdot \log_5(x - 7) \leq 0$$ $$(\log_5(x - 5) - 1)^2 \cdot \log_5(x - 7) \leq 0$$

Применим метод рационализации: $$(\log_5(x - 5) - \log_5 5)^2 \cdot (\log_5(x - 7) - \log_5 1) \leq 0$$ $$(x - 5 - 5)^2 \cdot (x - 7 - 1) \leq 0$$ $$(x - 10)^2 \cdot (x - 8) \leq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 8] \cup \{10\}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in (7; 8] \cup \{10\}$$

Ответ: $x \in (7; 8] \cup \{10\}$