( ∗ ) { x + 3 > 0 x + 2 > 0 x 2 + 6 x + 9 > 0 ⇒ { x > − 3 x > − 2 ( x + 3 ) 2 > 0 ⇒ { x > − 2 x ≠ − 3 ⇒ x ∈ ( − 2 ; + ∞ ) (*)
\begin{cases}
x + 3 > 0 \\
x + 2 > 0 \\
x^2 + 6x + 9 > 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x > -3 \\
x > -2 \\
(x + 3)^2 > 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x > -2 \\
x \neq -3
\end{cases}
\Rightarrow x \in (-2; +\infty) ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ x + 3 > 0 x + 2 > 0 x 2 + 6 x + 9 > 0 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ x > − 3 x > − 2 ( x + 3 ) 2 > 0 ⇒ { x > − 2 x = − 3 ⇒ x ∈ ( − 2 ; + ∞ )
Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:
0.25 = 4 − 1 ⇒ log 0.25 ( x + 3 ) = − log 4 ( x + 3 ) 0.25 = 4^{-1} \Rightarrow \log_{0.25}(x + 3) = -\log_4(x + 3) 0.25 = 4 − 1 ⇒ log 0.25 ( x + 3 ) = − log 4 ( x + 3 ) log 0.25 2 ( x + 3 ) = ( log 4 ( x + 3 ) ) 2 \log_{0.25}^2(x + 3) = (\log_4(x + 3))^2 log 0.25 2 ( x + 3 ) = ( log 4 ( x + 3 ) ) 2 log 4 ( x 2 + 6 x + 9 ) = log 4 ( ( x + 3 ) 2 ) = 2 log 4 ∣ x + 3 ∣ = 2 log 4 ( x + 3 ) \log_4(x^2 + 6x + 9) = \log_4((x + 3)^2) = 2\log_4|x + 3| = 2\log_4(x + 3) log 4 ( x 2 + 6 x + 9 ) = log 4 (( x + 3 ) 2 ) = 2 log 4 ∣ x + 3∣ = 2 log 4 ( x + 3 )
Подставим в исходное неравенство:
( ( log 4 ( x + 3 ) ) 2 − 2 log 4 ( x + 3 ) + 1 ) ⋅ log 4 ( x + 2 ) ≤ 0 ((\log_4(x + 3))^2 - 2\log_4(x + 3) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0 (( log 4 ( x + 3 ) ) 2 − 2 log 4 ( x + 3 ) + 1 ) ⋅ log 4 ( x + 2 ) ≤ 0 ( log 4 ( x + 3 ) − 1 ) 2 ⋅ log 4 ( x + 2 ) ≤ 0 (\log_4(x + 3) - 1)^2 \cdot \log_4(x + 2) \leq 0 ( log 4 ( x + 3 ) − 1 ) 2 ⋅ log 4 ( x + 2 ) ≤ 0
Применим метод рационализации:
( log 4 ( x + 3 ) − log 4 4 ) 2 ⋅ ( log 4 ( x + 2 ) − log 4 1 ) ≤ 0 (\log_4(x + 3) - \log_4 4)^2 \cdot (\log_4(x + 2) - \log_4 1) \leq 0 ( log 4 ( x + 3 ) − log 4 4 ) 2 ⋅ ( log 4 ( x + 2 ) − log 4 1 ) ≤ 0 ( x + 3 4 − 1 ) 2 ⋅ ( x + 2 − 1 ) ≤ 0 \left(\frac{x + 3}{4} - 1\right)^2 \cdot (x + 2 - 1) \leq 0 ( 4 x + 3 − 1 ) 2 ⋅ ( x + 2 − 1 ) ≤ 0 ( x − 1 ) 2 ⋅ ( x + 1 ) ≤ 0 (x - 1)^2 \cdot (x + 1) \leq 0 ( x − 1 ) 2 ⋅ ( x + 1 ) ≤ 0
Решим неравенство методом интервалов:
Решение неравенства:
x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ { 1 } x \in (-\infty; -1] \cup \{1\} x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ { 1 }
Учитывая ограничения ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( − 2 ; − 1 ] ∪ { 1 } x \in (-2; -1] \cup \{1\} x ∈ ( − 2 ; − 1 ] ∪ { 1 }
Ответ: x ∈ ( − 2 ; − 1 ] ∪ { 1 } x \in (-2; -1] \cup \{1\} x ∈ ( − 2 ; − 1 ] ∪ { 1 }
