Тип 15 № 11445

$$(*) \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$$ Преобразуем исходное неравенство: $$\log_2x + \frac{2}{\log_2x} \geq \frac{3}{(\log_2x)^3}$$

Сделаем замену переменной: $$t = \log_2x$$ Тогда неравенство примет вид: $$t + \frac{2}{t} \geq \frac{3}{t^3}$$

Перенесём все слагаемые в одну часть: $$t + \frac{2}{t} - \frac{3}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{t^4 + 2t^2 - 3}{t^3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^4 +t^2+ 2t^2 - t^2 - 3}{t^3} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2(t^2 + 3) - (t^2 + 3)}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{(t^2 - 1)(t^2 + 3)}{t^3} \geq 0$$

Так как $t^2 + 3 > 0$ для всех $t$, неравенство упрощается до: $$\frac{t^2 - 1}{t^3} \geq 0$$ $$\frac{(t - 1)(t + 1)}{t^3} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in [-1; 0) \cup [1; +\infty)$$

Вернёмся к переменной $x$: $$\left[\begin{aligned} &t \geq 1\\ &\begin{cases} t \geq -1\\ t < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_2x \geq 1\\ &\begin{cases} \log_2x \geq -1\\ \log_2x < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \geq 2\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{1}{2}\\ x < 1 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in [\tfrac{1}{2}; 1) \cup [2; +\infty)$$

Ответ: $x \in [\tfrac{1}{2}; 1) \cup [2; +\infty)$