Тип 15 № 11447

$$(*) x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{5^4}(x + 2) \geq \log_5(x + 2)^2$$ $$\frac{x^2}{4}\log_{5}(x + 2) \geq 2\log_5|x + 2|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x + 2$: $$\frac{x^2}{8}\log_{5}(x + 2) \geq \log_5(x + 2) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{8} - 1\right)\log_{5}(x + 2) \geq 0$$ $$(x^2 - 8)\log_{5}(x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\log_{5}(x + 2) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm2\sqrt{2}; \log_5(x+2) = 0 \Leftrightarrow x = -1$$

Решение неравенства: $x \in [-2\sqrt{2}; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in(-2; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

Ответ: $x \in(-2; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$