Логарифмические неравенства сложные свойства

$$(*) x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{5^4}(x + 2) \geq \log_5(x + 2)^2$$ $$\frac{x^2}{4}\log_{5}(x + 2) \geq 2\log_5|x + 2|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x + 2$: $$\frac{x^2}{8}\log_{5}(x + 2) \geq \log_5(x + 2) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{8} - 1\right)\log_{5}(x + 2) \geq 0$$ $$(x^2 - 8)\log_{5}(x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\log_{5}(x + 2) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm2\sqrt{2}; \log_5(x+2) = 0 \Leftrightarrow x = -1$$

Решение неравенства: $x \in [-2\sqrt{2}; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in(-2; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

Ответ: $x \in(-2; -1] \cup [ 2\sqrt{2}; +\infty)$

$$(*) x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{7^3}(x - 1) \geq \log_7(x - 1)^2$$ $$\frac{x^2}{3}\log_{7}(x - 1) \geq 2\log_7|x - 1|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x - 1$: $$\frac{x^2}{6}\log_{7}(x - 1) \geq \log_7(x - 1) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{6} - 1\right)\log_{7}(x - 1) \geq 0$$ $$(x^2 - 6)\log_{7}(x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})\log_{7}(x - 1) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm\sqrt{6}; \log_7(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 2$$

Решение неравенства: $x \in [-\sqrt{6}; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in (1; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$

Ответ: $x \in (1; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$

$$(*) x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{5^2}(x - 3) \geq \log_5(x - 3)^2$$ $$\frac{x^2}{2}\log_{5}(x - 3) \geq 2\log_5|x - 3|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x - 3$: $$\frac{x^2}{4}\log_{5}(x - 3) \geq \log_5(x - 3) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{4} - 1\right)\log_{5}(x - 3) \geq 0$$ $$(x^2 - 4)\log_{5}(x - 3) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2)\log_{5}(x - 3) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm2; \log_5x-3 = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

Решение неравенства: $x \in [-2; 2] \cup [4; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in [4; +\infty)$

Ответ: $x \in[4; +\infty)$

$$(*) 5 - x > 0 \Leftrightarrow x < 5$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{7^3}(5 - x) \leq \log_7(x - 5)^2$$ $$\frac{x^2}{3}\log_{7}(5 - x) \leq 2\log_7|x - 5|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $5 - x$: $$\frac{x^2}{6}\log_{7}(5 - x) \leq \log_7(5 - x) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{6} - 1\right)\log_{7}(5 - x) \leq 0$$ $$(x^2 - 6)\log_{7}(5 - x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})\log_{7}(5 - x) \leq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm\sqrt{6}; \log_7(5-x) = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

Решение неравенства: $x \in [-\sqrt{6}; \sqrt6] \cup [4; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in[-\sqrt{6}; \sqrt6] \cup [4; 5)$

Ответ: $x \in[-\sqrt{6}; \sqrt6] \cup [4; 5)$

$$(*) x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > -5$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{2^9}(x + 5) \leq \log_2(x + 5)^2$$ $$\frac{x^2}{9}\log_{2}(x + 5) \leq 2\log_2|x + 5|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x + 5$: $$\frac{x^2}{18}\log_{2}(x + 5) \leq \log_2(x + 5) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{18} - 1\right)\log_{2}(x + 5) \leq 0$$ $$(x^2 - 18)\log_{2}(x + 5) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 3\sqrt{2})(x + 3\sqrt{2})\log_{2}(x + 5) \leq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm3\sqrt{2}; \log_2(x+5) = 0 \Leftrightarrow x = -4$$

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [-4; 3\sqrt{2}]$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in(-5; -3\sqrt{2}] \cup [-4; 3\sqrt{2}]$

Ответ: $x \in(-5; -3\sqrt{2}] \cup [-4; 3\sqrt{2}]$