Тип 15 № 11448

$$(*) x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{7^3}(x - 1) \geq \log_7(x - 1)^2$$ $$\frac{x^2}{3}\log_{7}(x - 1) \geq 2\log_7|x - 1|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x - 1$: $$\frac{x^2}{6}\log_{7}(x - 1) \geq \log_7(x - 1) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{6} - 1\right)\log_{7}(x - 1) \geq 0$$ $$(x^2 - 6)\log_{7}(x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})\log_{7}(x - 1) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm\sqrt{6}; \log_7(x-1) = 0 \Leftrightarrow x = 2$$

Решение неравенства: $x \in [-\sqrt{6}; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in (1; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$

Ответ: $x \in (1; 2] \cup [\sqrt6; +\infty)$