Тип 15 № 11449

$$(*) x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{5^2}(x - 3) \geq \log_5(x - 3)^2$$ $$\frac{x^2}{2}\log_{5}(x - 3) \geq 2\log_5|x - 3|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x - 3$: $$\frac{x^2}{4}\log_{5}(x - 3) \geq \log_5(x - 3) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{4} - 1\right)\log_{5}(x - 3) \geq 0$$ $$(x^2 - 4)\log_{5}(x - 3) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2)\log_{5}(x - 3) \geq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm2; \log_5x-3 = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

Решение неравенства: $x \in [-2; 2] \cup [4; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in [4; +\infty)$

Ответ: $x \in[4; +\infty)$