Тип 15 № 11450

$$(*) 5 - x > 0 \Leftrightarrow x < 5$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{7^3}(5 - x) \leq \log_7(x - 5)^2$$ $$\frac{x^2}{3}\log_{7}(5 - x) \leq 2\log_7|x - 5|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $5 - x$: $$\frac{x^2}{6}\log_{7}(5 - x) \leq \log_7(5 - x) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{6} - 1\right)\log_{7}(5 - x) \leq 0$$ $$(x^2 - 6)\log_{7}(5 - x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})\log_{7}(5 - x) \leq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm\sqrt{6}; \log_7(5-x) = 0 \Leftrightarrow x = 4$$

Решение неравенства: $x \in [-\sqrt{6}; \sqrt6] \cup [4; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in[-\sqrt{6}; \sqrt6] \cup [4; 5)$

Ответ: $x \in[-\sqrt{6}; \sqrt6] \cup [4; 5)$