Тип 15 № 11451

$$(*) x + 5 > 0 \Leftrightarrow x > -5$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{2^9}(x + 5) \leq \log_2(x + 5)^2$$ $$\frac{x^2}{9}\log_{2}(x + 5) \leq 2\log_2|x + 5|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $x + 5$: $$\frac{x^2}{18}\log_{2}(x + 5) \leq \log_2(x + 5) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{18} - 1\right)\log_{2}(x + 5) \leq 0$$ $$(x^2 - 18)\log_{2}(x + 5) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 3\sqrt{2})(x + 3\sqrt{2})\log_{2}(x + 5) \leq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm3\sqrt{2}; \log_2(x+5) = 0 \Leftrightarrow x = -4$$

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3\sqrt{2}] \cup [-4; 3\sqrt{2}]$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in(-5; -3\sqrt{2}] \cup [-4; 3\sqrt{2}]$

Ответ: $x \in(-5; -3\sqrt{2}] \cup [-4; 3\sqrt{2}]$