Тип 15 № 11461

$$(*) \begin{cases} x^2 + x - 2 \geq 0\\ x \neq 1\\ x > 0\\ x^2 + x + 1 > 0 (D < 0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - 1)(x + 2) \geq 0\\ x \neq 1\\ x > 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\\ x \neq 1\\ x > 0\\ \end{cases}$$ $$(*) x \in (1; +\infty)$$

Вернёмся к исходному неравенству. С учётом $(*)$, $\log_x3 > 0$ при любом значении $x$.

Разделим на $\log_x3$: $$\frac{\log_{x}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x +1)}{\log_x3} \leq 1$$

Воспользуемся формулой $\frac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb$: $$\log_{3}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x + 1) \leq 1$$ Прибавим и отнимем $2$ в аргументе правого логарифма: $$\log_{3}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x -2 + 3) \leq 1$$ Сделаем замену $t = \sqrt{x^2 + x - 2}, t \geq 0$: $$\log_{3}(t + 1)\cdot\log_7(t^2 + 3) \leq 1$$ Заметим, что аргументы логарифмов всегда неотрицательны и основания логарифмов больше единицы, значит левая часть неравенства всегда неотрицательна.

Также заметим, что при $t = 2$ оба логарифма равны $1$, если же $t < 2$ то значения логарифмов будут не превышать $1$. Значит, чтобы их произведение было не больше $1$, значения $t$ должны не превышать $2$.

Тогда запишем систему: $$\begin{cases} t \geq 0\\ t \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x^2 + x - 2} \geq 0\\ \sqrt{x^2 + x - 2} \leq 2 \end{cases}$$ C учётом $(*)$ имеем: $$\begin{cases} \sqrt{x^2 + x - 2} \geq 0\\ \sqrt{x^2 + x - 2} \leq 2 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 2 \leq 4 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 6 \leq 0 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)(x - 2) \leq 0 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \in [-3; 2] \\ x > 1 \end{cases}$$

Получаем: $x \in (1; 2]$

Ответ: $x \in (1; 2]$