Переменное основание в логарифме

$$(*) \begin{cases} x^2 - 6x + 10 > 0 \quad (D > 0) \\ x^2 - 6x + 10 \neq 1 \\ 5x^2 + 3 > 0 \quad \text{ для любого } x \\ 4x^2 + 7x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 6x + 9 \neq 0 \\ 4x^2 + 7x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 3 \\ x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{3}{4}; +\infty) \end{cases}$$

В итоге: $$x \in (-\infty; -1) \cup (-\tfrac{3}{4}; 3) \cup (3; +\infty)$$

Преобразуем исходное неравенство: $$2 \cdot \frac{1}{2} \log_{x^2 - 6x + 10}(5x^2 + 3) \leq \log_{x^2 - 6x + 10}(4x^2 + 7x + 3)$$ $$\log_{x^2 - 6x + 10}(5x^2 + 3) \leq \log_{x^2 - 6x + 10}(4x^2 + 7x + 3)$$ По методу рационализации: $$(x^2 - 6x + 10 - 1)(5x^2 + 3 - 4x^2 - 7x - 3) \leq 0$$ $$(x - 3)^2(x^2 - 7x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 3)^2x(x - 7) \leq 0$$

Решение неравенства: $x \in [0; 7]$

Учитывая ограничения (*), имеем: $$x \in [0; 3) \cup (3; 7]$$

Ответ: $x \in [0; 3) \cup (3; 7]$

$$(*) \begin{cases} x^2 + x - 2 \geq 0\\ x \neq 1\\ x > 0\\ x^2 + x + 1 > 0 (D < 0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - 1)(x + 2) \geq 0\\ x \neq 1\\ x > 0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)\\ x \neq 1\\ x > 0\\ \end{cases}$$ $$(*) x \in (1; +\infty)$$

Вернёмся к исходному неравенству. С учётом $(*)$, $\log_x3 > 0$ при любом значении $x$.

Разделим на $\log_x3$: $$\frac{\log_{x}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x +1)}{\log_x3} \leq 1$$

Воспользуемся формулой $\frac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb$: $$\log_{3}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x + 1) \leq 1$$ Прибавим и отнимем $2$ в аргументе правого логарифма: $$\log_{3}(\sqrt{x^2 + x - 2} + 1)\cdot\log_7(x^2 + x -2 + 3) \leq 1$$ Сделаем замену $t = \sqrt{x^2 + x - 2}, t \geq 0$: $$\log_{3}(t + 1)\cdot\log_7(t^2 + 3) \leq 1$$ Заметим, что аргументы логарифмов всегда неотрицательны и основания логарифмов больше единицы, значит левая часть неравенства всегда неотрицательна.

Также заметим, что при $t = 2$ оба логарифма равны $1$, если же $t < 2$ то значения логарифмов будут не превышать $1$. Значит, чтобы их произведение было не больше $1$, значения $t$ должны не превышать $2$.

Тогда запишем систему: $$\begin{cases} t \geq 0\\ t \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x^2 + x - 2} \geq 0\\ \sqrt{x^2 + x - 2} \leq 2 \end{cases}$$ C учётом $(*)$ имеем: $$\begin{cases} \sqrt{x^2 + x - 2} \geq 0\\ \sqrt{x^2 + x - 2} \leq 2 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 2 \leq 4 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 6 \leq 0 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 3)(x - 2) \leq 0 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \in [-3; 2] \\ x > 1 \end{cases}$$

Получаем: $x \in (1; 2]$

Ответ: $x \in (1; 2]$

$$(*) \begin{cases} \log_x2x \neq 1\\ \log_x2x > 0 \\ x > 0\\ x \neq 1\\ 9x - 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x \neq x\\ \log_x2x > \log_x1 \\ x > 0\\ x \neq 1\\ x > \tfrac{4}{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - 1)(2x - 1) > 0 \\ x > 0\\ x \neq 1\\ x > \tfrac{4}{9} \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \\ x > 0\\ x \neq 1\\ x > \tfrac{4}{9} \end{cases}$$ $$(*) x \in (\tfrac{4}{9}; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$$

Вернёмся к неравенству: $$\log_{\log_x2x}(9x - 4) \geq \log_{\log_x2x}1$$ По методу рационализации: $$(\log_x2x - 1)(9x - 5) \geq 0 \Leftrightarrow (x- 1)(2x - x)(9x - 5) \geq 0$$ $$(x- 1)x(9x - 5) \geq 0$$

Получаем: $x \in [0; \tfrac{5}{9}] \cup [1; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем ответ: $x \in (\tfrac{4}{9}; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$

Ответ: $x \in (\tfrac{4}{9}; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$

$$(*)\ \begin{cases} 6x^2-5x+1>0\\ 6x^2-5x+1\ne 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - \tfrac{1}{2})(x - \tfrac{1}{3})>0\\ x(6x - 5)\neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; \tfrac{1}{3}) \cup (\tfrac{1}{2}; +\infty)\\ x\neq 0 \\ x \neq \tfrac{5}{6} \end{cases}$$

Вернёмся к неравенству. По свойству логарифмов возведём основание и аргумент правого логарифма во 2 степень: $$\log_{6x^2 - 5x + 1}2 > \log_{6x^2 - 5x + 1}4$$ По методу рационализации имеем: $$(2 - 4)(6x^2 - 5x + 1 - 1) > 0 \Leftrightarrow -2(6x^2 - 5x) > 0 \Leftrightarrow x(6x - 5) < 0 \Rightarrow x \in (0; \tfrac{5}{6})$$ С учётом $(*)$, получаем: $x \in (0; \tfrac{1}{3}) \cup(\tfrac{1}{2}; \tfrac{5}{6})$

Ответ: $x\in\left(0;\tfrac{1}{3}\right)\cup\left(\tfrac{1}{2};\tfrac{5}{6}\right)$.