Тип 15 № 11462

$$(*) 6x - x^2 - 7 > 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 7 < 0 \Leftrightarrow (x - 3 - \sqrt2)(x - 3 + \sqrt2) < 0$$ $$x \in (3 - \sqrt2; 3 + \sqrt2)$$ Вернёмся к неравенству: $$\frac{1}{7^{|x - 3|}}\log_2(6x - x^2 - 7) \geq 1$$ Учитывая, что $7^{|x - 3|} > 0$ при любом значении $x$: $$\log_2(6x - x^2 - 7) \geq 7^{|x - 3|}$$ Проанализируем обе части неравенства.

Слева от знака неравенства логарифм по основанию $2 > 1$, значит большему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.

Аргументом логарифма является квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при старшей степени. Значит наибольшее значение функция принимает в точке $x_0 = \frac{-6}{-2} = 3$.

Найдём значение аргумента в этой точке: $6\cdot 3 - 9 - 7 = 2$.

Тогда наибольшее значение левой части неравенства равно: $$\log_22 = 1$$

Рассмотрим правую часть неравенства. $7^{|x - 3|}$ – монотонно возрастающая функция, причем её показатель всегда неотрицателен. Значит наименьшее её значение будет в точке, где показатель равен 0. $$|x - 3| = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 7^{|3 -3|} = 1$$ Получаем, что максимальное значение левой части неравенства и минимальное значение правой части неравенства равны $1$ и достигаются в точке $x = 3$.

Тогда неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна правой части, то есть в точке $x = 3$.

Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $(*)$.

Ответ: $\{3\}$;