Тип 15 № 11463

$$(*) \begin{cases} \log_x2x \neq 1\\ \log_x2x > 0 \\ x > 0\\ x \neq 1\\ 9x - 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x \neq x\\ \log_x2x > \log_x1 \\ x > 0\\ x \neq 1\\ x > \tfrac{4}{9} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x - 1)(2x - 1) > 0 \\ x > 0\\ x \neq 1\\ x > \tfrac{4}{9} \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \\ x > 0\\ x \neq 1\\ x > \tfrac{4}{9} \end{cases}$$ $$(*) x \in (\tfrac{4}{9}; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$$

Вернёмся к неравенству: $$\log_{\log_x2x}(9x - 4) \geq \log_{\log_x2x}1$$ По методу рационализации: $$(\log_x2x - 1)(9x - 5) \geq 0 \Leftrightarrow (x- 1)(2x - x)(9x - 5) \geq 0$$ $$(x- 1)x(9x - 5) \geq 0$$

Получаем: $x \in [0; \tfrac{5}{9}] \cup [1; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем ответ: $x \in (\tfrac{4}{9}; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$

Ответ: $x \in (\tfrac{4}{9}; \tfrac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$