( ∗ ) { 6 x 2 − 5 x + 1 > 0 6 x 2 − 5 x + 1 ≠ 1 ⇔ { ( x − 1 2 ) ( x − 1 3 ) > 0 x ( 6 x − 5 ) ≠ 0 ⇔ { x ∈ ( − ∞ ; 1 3 ) ∪ ( 1 2 ; + ∞ ) x ≠ 0 x ≠ 5 6 (*)\ \begin{cases}
6x^2-5x+1>0\\
6x^2-5x+1\ne 1
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
(x - \tfrac{1}{2})(x - \tfrac{1}{3})>0\\
x(6x - 5)\neq 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \in (-\infty; \tfrac{1}{3}) \cup (\tfrac{1}{2}; +\infty)\\
x\neq 0 \\
x \neq \tfrac{5}{6}
\end{cases} ( ∗ ) { 6 x 2 − 5 x + 1 > 0 6 x 2 − 5 x + 1 = 1 ⇔ { ( x − 2 1 ) ( x − 3 1 ) > 0 x ( 6 x − 5 ) = 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x ∈ ( − ∞ ; 3 1 ) ∪ ( 2 1 ; + ∞ ) x = 0 x = 6 5
Вернёмся к неравенству. По свойству логарифмов возведём основание и аргумент правого логарифма во 2 степень:
log 6 x 2 − 5 x + 1 2 > log 6 x 2 − 5 x + 1 4 \log_{6x^2 - 5x + 1}2 > \log_{6x^2 - 5x + 1}4 log 6 x 2 − 5 x + 1 2 > log 6 x 2 − 5 x + 1 4 ( 2 − 4 ) ( 6 x 2 − 5 x + 1 − 1 ) > 0 ⇔ − 2 ( 6 x 2 − 5 x ) > 0 ⇔ x ( 6 x − 5 ) < 0 ⇒ x ∈ ( 0 ; 5 6 ) (2 - 4)(6x^2 - 5x + 1 - 1) > 0 \Leftrightarrow -2(6x^2 - 5x) > 0 \Leftrightarrow x(6x - 5) < 0 \Rightarrow x \in (0; \tfrac{5}{6}) ( 2 − 4 ) ( 6 x 2 − 5 x + 1 − 1 ) > 0 ⇔ − 2 ( 6 x 2 − 5 x ) > 0 ⇔ x ( 6 x − 5 ) < 0 ⇒ x ∈ ( 0 ; 6 5 ) ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( 0 ; 1 3 ) ∪ ( 1 2 ; 5 6 ) x \in (0; \tfrac{1}{3}) \cup(\tfrac{1}{2}; \tfrac{5}{6}) x ∈ ( 0 ; 3 1 ) ∪ ( 2 1 ; 6 5 )
Ответ: x ∈ ( 0 ; 1 3 ) ∪ ( 1 2 ; 5 6 ) x\in\left(0;\tfrac{1}{3}\right)\cup\left(\tfrac{1}{2};\tfrac{5}{6}\right) x ∈ ( 0 ; 3 1 ) ∪ ( 2 1 ; 6 5 )