Тип 15 № 11465

$$(*) 6x - x^2 - 6 > 0 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 6 < 0 \Leftrightarrow (x - 3 - \sqrt3)(x - 3 + \sqrt3) < 0$$ $$x \in (3 - \sqrt3; 3 + \sqrt3)$$ Вернёмся к неравенству: $$\frac{1}{6^{|x - 3|}}\log_3(6x - x^2 - 6) \geq 1$$ Учитывая, что $6^{|x - 3|} > 0$ при любом значении $x$: $$\log_3(6x - x^2 - 6) \geq 6^{|x - 3|}$$ Проанализируем обе части неравенства.

Слева от знака неравенства логарифм по основанию $3 > 1$, значит большему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.

Аргументом логарифма является квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при старшей степени. Значит наибольшее значение функция принимает в точке $x_0 = \frac{-6}{-2} = 3$.

Найдём значение аргумента в этой точке: $6\cdot 3 - 9 - 6 = 3$.

Тогда наибольшее значение левой части неравенства равно: $$\log_33 = 1$$

Рассмотрим правую часть неравенства. $6^{|x - 3|}$ – монотонно возрастающая функция, причем её показатель всегда неотрицателен. Значит наименьшее её значение будет в точке, где показатель равен 0. $$|x - 3| = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 6^{|3 -3|} = 1$$ Получаем, что максимальное значение левой части неравенства и минимальное значение правой части неравенства равны $1$ и достигаются в точке $x = 3$.

Тогда неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна правой части, то есть в точке $x = 3$.

Значение $x = 3$ удовлетворяет условию $(*)$.

Ответ: $\{3\}$;