Тип 15 № 11467

$$(*) 16 - 2^{(x - 5)^2} > 0 \Leftrightarrow2^4 > 2^{(x - 5)^2}$$ Учитывая, что основания равны $2 > 1$ имеем: $$4 > (x - 5)^2 \Leftrightarrow (x - 7)(x - 3) < 0 \Rightarrow x \in (3; 7)$$

Вернёмся к основному неравенству: $$\frac{4\sin x \cdot \sin 2x - \sin^ 2 2x - 4 + 4\cos ^2 x}{\sqrt{16 - 2^{(x - 5)^2}}} \geq 0$$ Заметим, что знаменатель будет всегда положительным, поэтому знак всего неравенства определяет только числитель. Домножим на знаменатель: $$4\sin x \cdot \sin 2x - \sin^ 2 2x - 4 + 4\cos ^2 x \geq 0$$ $$8\sin^2x\cos x- 4\sin^2 x\cos ^2x - 4 + 4(1 - \sin^2 x) \geq 0$$ $$8\sin^2x\cos x- 4\sin^2 x\cos ^2x - 4\sin^2 x \geq 0$$ $$\sin^2x(2\cos x- \cos ^2x - 1) \geq 0$$ $$\sin^2x(\cos x- 1)^2 \leq 0$$ Заметим, что левая часть неравенства всегда неотрицательна, поэтому: $$\sin^2x = 0 \text{ или } \cos x - 1 = 0$$ $$x = \pi k, k \in Z \text{ или } x = 2\pi k, k \in Z$$ Множество решений $x = \pi k, k \in Z$ включает в себя множество решений $x = 2\pi k, k \in Z$, поэтому ответом будет являться просто множество $x = \pi k, k \in Z$

С учётом ограничения $(*)$, на промежутке (3; 7) есть всего 2 подходящих значения $x$: $x = \pi, \quad x = 2\pi$.

Ответ: $x \in \{\pi, 2\pi\}$