Тип 13 № 11534

а)

$$\left(*\right) \begin{cases} x^2 - 5 > 0\\ 7 - x > 0 \end{cases}$$

Сделаем замену: $$a = \log_2(x^2 - 5), \quad b = \log_3(7 - x)$$ Уравнение примет вид: $$a b^2 + 3a - 2b^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow (a - 2)(b^2 + 3) = 0$$ Так как $b^2 + 3 > 0$, то: $$a = 2 \Rightarrow \log_2(x^2 - 5) = 2 \Rightarrow x^2 - 5 = 4 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

б) Проверим принадлежность корней отрезку: $$\log_2\frac{1}{7} \leq 3 \leq \log_29 \Leftrightarrow -\log_27 \leq \log_28 \leq \log_29 \quad \text{верно}$$ $$\log_2\frac{1}{7} \leq -3 \leq \log_29 \Leftrightarrow -\log_27 \leq -\log_28 \leq \log_29 \quad \text{ неверно}$$

Ответ: а) $\pm3$; б) $3$