Логарифмические уравнения

а)

По свойству логарифмов возведём основание и аргумент правого логарифма в степень $\frac{1}{2}$:

$$\log_7(x + 2) = \log_{49}(x^4) \Leftrightarrow \log_7(x + 2) = \log_7(x^2) \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x + 2 = x^2 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - x - 2 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = -1 \\ &x = 2 \end{aligned} \right.$$

б) Сравним числа:

$$\log_6\frac{1}{7} \leq -1 \leq \log_635 \Leftrightarrow -\log_67 \leq -\log_66 \leq \log_635 \text{ верно}$$ $$\log_6\frac{1}{7} \leq 2 \leq \log_635 \Leftrightarrow \log_6\frac{1}{7} \leq \log_636 \leq \log_635 \text{ неверно}$$

Ответ: a)$-1; 2$; б) $-1$;

а) По свойству логарифмов возведём основание и аргумент правого логарифма в степень $\frac{1}{2}$:

$$\log_5(2 - x) = \log_{25}(x^4) \Leftrightarrow \log_5(2 - x) = \log_5(x^2) \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2 - x = x^2 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + x - 2 = 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = -2 \\ &x = 1 \end{aligned} \right.$$

б) Сравним числа:

$$\log_9\frac{1}{82} \leq -2 \leq \log_98 \Leftrightarrow -\log_9 82 \leq -\log_9 81 \leq \log_9 8 \text{ верно}$$ $$\log_9\frac{1}{82} \leq 1 \leq \log_98 \Leftrightarrow \log_9\frac{1}{82} \leq \log_9 9 \leq \log_9 8 \text{ неверно}$$

Ответ: a) $-2; 1$; б) $-2$;

а) $\log_2(x^2 - 14x) = \log_232$. Так как $32 > 0$, $x^2 - 14x > 0$ автоматически.

$$\log_2(x^2 - 14x) = 5 \Leftrightarrow x^2 - 14x = 32 \Leftrightarrow x^2 - 14x - 32 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 16 \\ &x = -2 \end{aligned} \right.$$

б) Сравним числа:

$$\log_30,1 \leq -2 \leq 5\sqrt{10} \Leftrightarrow -\log_3 10 \leq -2 \leq 5\sqrt{10} \Leftrightarrow -\log_3 10 \leq -\log_39 \leq 5\sqrt{10} \text{ верно}$$ $$\log_30,1 \leq 16 \leq 5\sqrt{10} \Leftrightarrow -\log_310 \leq 16 \leq 5\sqrt{10} \Leftrightarrow 16 \leq 5\sqrt{10} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 256 \leq 250 \text{ неверно}$$

Ответ: a) $-2; 16$; б) $-2$;

а) Сделаем замену $t = \log_8 x$:

$$6t^2 - 5t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &t = \frac{1}{2} \\ &t = \frac{1}{3} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\log_8 x = \frac{1}{2} \\ &\log_8 x = \frac{1}{3} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\log_8 x = \frac{1}{2} \\ &\log_8 x = \frac{1}{3} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 2\sqrt2 \\ &x = 2 \end{aligned} \right.$$

б) Сравним числа:

$$2 \leq 2 \leq 2,5 \text{ верно}$$ $$2 \leq 2\sqrt{2} \leq 2,5 \Leftrightarrow 4 \leq 8 \leq 6,25\text{ неверно}$$

Ответ: a) $2; 2\sqrt{2}$; б) $2$;

а) Преобразуем уравнение:

$$\left(*\right) \begin{cases} 9x^2 + 5 > 0\\ \sqrt{8x^4 + 14} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \in R$$

$$1 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_2(8x^4 + 14) \Leftrightarrow \log_2 2 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_2(8x^4 + 14) \Leftrightarrow$$ $$\log_2(18x^2 + 10) = \log_2(8x^4 + 14) \Leftrightarrow 18x^2 + 10 = 8x^4 + 14 \Leftrightarrow 4x^4 - 9x^2 + 2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x^2 = \frac{1}{4} \\ &x^2 = 2 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \pm\frac{1}{2} \\ &x = \pm\sqrt2 \end{aligned} \right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие промежутку $\left[-1; \frac{8}{9}\right]$:

Нам подходят корни: $$\pm\frac{1}{2}$$

Ответ: a) $\pm\sqrt2; \pm\frac{1}{2}$; б) $\pm\frac{1}{2}$;