Тип 13 № 11537

а) $$\left(*\right) \begin{cases} x > 0 \\ 4x^2 - 1 > 0 \\ \frac{x(4x^2 - 1)}{3} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x^2 > \frac{1}{4} \\ x(4x^2 - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ 4x^3 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$$

Преобразуем уравнение: $$\log_3x\cdot\log_3(4x^2 - 1) = \log_3x + \log_3(4x^2 - 1) - 1$$

Сделаем замену: $$a = \log_3x, \quad b = \log_3(4x^2 - 1)$$ Уравнение примет вид: $$ab = a + b - 1 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 = 0 \Leftrightarrow (a - 1)(b - 1) = 0$$ Получаем два случая:

1. $a = 1 \Rightarrow \log_3x = 1 \Rightarrow x = 3$
2. $b = 1 \Rightarrow \log_3(4x^2 - 1) = 1 \Rightarrow 4x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

С учётом $\left(*\right)$ ($x > \frac{1}{2}$) остаётся только $x = 1$ и $x = 3$.

б) Проверим принадлежность корней отрезку $\left[\log_52; \log_527\right]$: $$\log_52 \leq 1 \leq \log_527 \Leftrightarrow \log_52 \leq \log_55 \leq \log_527 \text{ верно}$$ $$\log_52 \leq 3 \leq \log_527 \Leftrightarrow \log_52 \leq \log_5125 \leq \log_527 \text{ неверно}$$

Ответ: а) $1, 3$; б) $1$